Сосуд с двумя поршнями и жидкостью

Запишите равновесие каждого поршня, свяжите давления над нижним и под верхним поршнем через столб жидкости и учтите, что при опускании поршней объём жидкости сохраняется.

\(F=kL\,\dfrac{(S_1-S_2)^2}{S_1S_2}-\rho gL\,(S_1-S_2)\).

Нижний поршень находится в равновесии, поэтому \[P_2S_2+m_2g-T=0,\] где \(m_2\) — масса нижнего поршня, \(P_2\) — давление жидкости на него, \(T\) — натяжение пружины. Давление на верхний поршень \(P_1=P_2-\rho gl\), где \(l\) — расстояние между поршнями. Условие равновесия верхнего поршня: \(P_1S_1-T-m_1g-F=0\), где \(m_1\) — масса верхнего поршня.

Подставляя \(P_1\) и \(P_2\) и вычитая из полученного условия равновесия такое же условие в исходном состоянии (с натяжением \(T_0\) и длиной \(l_0\) пружины), получаем \[(T-T_0)\left(\frac{S_1}{S_2}-1\right)-\rho g\,(l-l_0)\,S_1-F=0.\]

Если нижний поршень опустился на \(L\), то верхний опустился на \(h\), и объём жидкости не изменился: \(LS_2=hS_1\). Изменение длины пружины \(l-l_0=L-h=L\left(1-\dfrac{S_2}{S_1}\right)\), а натяжение пружины увеличилось на \(T-T_0=k(L-h)=kL\left(1-\dfrac{S_2}{S_1}\right)\).

Подставляя эти величины, получаем \[F=kL\,\frac{(S_1-S_2)^2}{S_1S_2}-\rho gL\,(S_1-S_2).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.