Продольное движение линейной молекулы

Подсказка

Сумма всех внутренних сил равна нулю — отсюда сохранение \(\sum m_i x_i\). В нормальной моде все смещения пропорциональны друг другу, поэтому сила на каждый атом пропорциональна его собственному смещению, а частота одна для всех атомов.

Решение

Решение дано в нескольких по существу эквивалентных вариантах. Задача сформулирована так, что знание теории матриц в применении к задачам такого рода не предполагается. Однако, поскольку многие участники получили изящные и стройные решения с помощью теории матриц, ниже приведён и краткий набросок такого решения.

1) Силу, действующую на атом \(i\), можно найти из рис. 1 ниже.

Положительное смещение \(x_{i-1}\) атома \(i-1\) вызывает укорочение пружины \(k_{i-1}\). Это вызывает силу \(k_{i-1}x_{i-1}\) (действующую вправо) на атом \(i\). Соответственно, смещение \(x_i\) атома \(i\) вызывает силу \(-k_{i-1}x_{i-1} - k_ix_i\), действующую влево на атом \(i\). Наконец, смещение \(x_{i+1}\) вызывает на атоме \(i\) силу \(k_{i+1}x_{i+1}\), действующую вправо на атом \(i\). Силы на атоме \(i\) в сумме дают

\[F_i = -k_{i-1}(x_i - x_{i-1}) - k_i(x_i - x_{i+1}). \qquad (1)\] Учитывая, что у атома 1 нет левого соседа, а у атома \(N\) — правого, силы можно записать так: \[F_1 = -k_1(x_1 - x_2),\] \[F_2 = -k_1(x_2 - x_1) - k_2(x_2 - x_3),\] \[\ldots\] \[F_i = -k_{i-1}(x_i - x_{i-1}) - k_i(x_i - x_{i+1}),\] \[\ldots\] \[F_N = -k_{N-1}(x_N - x_{N-1}). \qquad (2)\] Складывая силы, получаем полную силу \(F\), действующую на молекулу: \[F = F_1 + F_2 + \ldots + F_N = 0. \qquad (3)\] По второму закону Ньютона эта сила равна массе молекулы, умноженной на ускорение её центра масс: \[F = Ma = 0. \qquad (4)\] Каждая отдельная сила равна массе соответствующего атома, умноженной на ускорение этого атома: \[F_i = M_i a_i. \qquad (5)\] (3) и (5) вместе дают \[m_1a_1 + m_2a_2 + \ldots + m_Na_N = 0. \qquad (6)\] Соотношение (6) даёт \[m_1v_1 + m_2v_2 + \ldots + m_Nv_N = Mv_0 = \text{constant}, \qquad (7)\] где \(v_0\) — скорость центра масс. Если наблюдать молекулу в системе координат, движущейся вместе с центром масс, эта скорость равна нулю. Таким образом, находим следующее соотношение между смещениями отдельных атомов: \[m_1x_1 + m_2x_2 + \ldots + m_Nx_N = Mx_0 = \text{constant}. \qquad (8)\] Эту постоянную можно положить равной нулю; это означает, что начало координат совпадает с центром масс молекулы и что внутренние силы молекулы не влияют на движение центра масс.

2) Молекула и соответствующие величины показаны на рисунке ниже:

Силы, действующие на атомы, можно выразить как \[F_A = -k(x_A - x_B) = m_Aa_A,\] \[F_B = -k(x_B - x_A) = m_Ba_B. \qquad (9)\] Снова \[F_A + F_B = m_A + m_B = 0. \qquad (10)\]

В системе центра масс соответственно выполняется \[m_Ax_A + m_Bx_B = 0 \qquad (11)\] и далее \[x_B = -\frac{m_A}{m_B}\,x_A. \qquad (12)\] Тогда соотношения (9) можно записать так: \[F_A = -k\left(x_A + \frac{m_A}{m_B}\,x_A\right) = -k\left(\frac{m_A + m_B}{m_A}\right)x_A,\] \[F_B = -k\left(x_B + \frac{m_B}{m_A}\,x_B\right) = -k\left(\frac{m_A + m_B}{m_B}\right)x_B. \qquad (13)\]

Согласно формулировке задачи, сила, действующая на каждый атом, пропорциональна его смещению. Это можно выразить как \[F_A = -r_Ax_A,\] \[F_B = -r_Bx_B. \qquad (14)\] Коэффициенты пропорциональности \(r_A\) и \(r_B\) получаются сравнением (13) и (14): \[r_A = k\left(\frac{m_A + m_B}{m_B}\right); \quad r_B = k\left(\frac{m_A + m_B}{m_A}\right). \qquad (15)\] Ключевой момент решения теперь — использовать данный в формулировке задачи факт, что атомы колеблются с равными частотами: \[\omega_A = \sqrt{\frac{r_A}{m_A}} = \sqrt{\frac{m_A + m_B}{m_Am_B}} = \omega_B. \qquad (16)\]

Другое решение, которое можно вывести из уравнений (9) и (11), — тривиальное, соответствующее \[x_A = x_B, \qquad (17)\] что даёт \(\omega = 0\); это соответствует равномерному поступательному движению молекулы без колебаний или, в системе центра масс, покоящейся молекуле.

Другое возможное решение получается в предположении, что \(x_A\) и \(x_B\) пропорциональны друг другу, как можно заключить из решения части 1 задачи. Итак, положим \[x_B = cx_A. \qquad (18)\] Подстановка (18) в (13) даёт \[F_A = -k(x_A - cx_A) = -k(1 - c_B)x_A = -r_Ax_A,\] \[F_B = -k\left(\frac1c\,x_B - x_B\right) = -k\left(\frac{1}{c_B} - 1\right)x_B = -r_Bx_B. \qquad (19)\]

Угловые частоты колебаний равны \[\omega_A = \sqrt{\frac{r_A}{m_A}} = \sqrt{\frac{k(1 - c)}{m_A}} = \omega_B = \sqrt{\frac{r_B}{m_B}} = \sqrt{\frac{k\left(\dfrac1c - 1\right)}{m_B}}. \qquad (20)\] Решение получающегося квадратного уравнения относительно \(c\) даёт полученные ранее результаты: \[c_1 = 1, \quad c_2 = -\frac{m_A}{m_B}. \qquad (21)\] Решение \(c_1 = 1\) непосредственно даёт \(F_A = F_B = 0\) без каких-либо дополнительных условий на \(x_A\) и \(x_B\). Решение \(c_2 = -m_A/m_B\) соответствует настоящему колебательному движению.

Третий способ получить решение — конечно, использовать полные уравнения движения \[F_A = m_A\ddot x_A = -k(x_A - x_B),\] \[F_B = m_B\ddot x_B = -k(x_B - x_A) \qquad (22)\] и искать гармонические решения вида \[x_A = x_{A0}e^{i\omega t}; \quad x_B = x_{B0}e^{i\omega t}. \qquad (23)\] Подстановка (23) в (22) приводит к линейной системе уравнений \[(k - m_A\omega^2)x_{A0} - kx_{B0} = 0,\] \[-kx_{A0} + (k - m_B\omega^2)x_{B0} = 0. \qquad (24)\] Удивительно многие участники получили решение этим способом, правильно используя то, что условие существования нетривиального решения — равенство нулю определителя из коэффициентов при неизвестных: \[\begin{vmatrix} k - m_A\omega^2 & -k \\ -k & k - m_B\omega^2 \end{vmatrix} = 0. \qquad (25)\] Решение этого уравнения снова даёт прежние результаты: \[\omega_1 = 0; \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k(m_A + m_B)}{m_Am_B}}, \qquad (26)\] с амплитудами \(x_A\) и \(x_B\), полученными как прежде.

3) Молекула, анализируемая в третьей части задачи, изображена на следующем рисунке вместе с определёнными соответствующими величинами:

Силы, действующие на атомы: \[F_1 = -k(x_1 - x_2),\] \[F_2 = -k(x_2 - x_1) - k(x_2 - x_3) = -k(-x_1 + 2x_2 - x_3),\] \[F_3 = -k(x_3 - x_2). \qquad (27)\] Снова смещения можно считать пропорциональными друг другу, поскольку сумма смещений, взвешенных по массам, постоянна: \[x_2 = c_2x_1; \quad x_3 = c_3x_1, \qquad (28)\] где \(c_2\) и \(c_3\) — постоянные, которые нужно определить. Согласно формулировке задачи, участники должны были действовать, пытаясь выразить силу, действующую на каждый атом, как функцию смещения только этого атома. Подстановка (28) в (27) тогда даёт \[F_1 = -k(1 - c_2)x_1 = -r_1x_1,\] \[F_2 = -k\left(-\frac{1}{c_2} + 2 - c_3\right)x_2 = -r_2x_2,\] \[F_3 = -k\left(1 - \frac{c_2}{c_3}\right)x_3 = -r_3x_3. \qquad (29)\]

Постоянные \(c_2\) и \(c_3\) теперь можно определить из условия, что атомы колеблются с равными угловыми частотами: \[\omega_1 = \sqrt{\frac{r_1}{m_A}} = \omega_2 = \sqrt{\frac{r_2}{m_B}} = \omega_3 = \sqrt{\frac{r_3}{m_A}}. \qquad (30)\] Возведение корней в квадрат и использование (29) дают уравнения \[\frac{1 - c_2}{m_A} = \frac{-\dfrac{1}{c_2} + 2 - \dfrac{c_3}{c_2}}{m_B} = \frac{1 - \dfrac{c_2}{c_3}}{m_A}. \qquad (31)\] Эти уравнения должны выполняться одновременно, так что имеют место соотношения \[1 - c_2 = 1 - \frac{c_2}{c_3}, \qquad (32)\] \[\frac{1 - c_2}{m_A} = \left(2 - (1 + c_3)\frac{1}{c_2}\right)\frac{1}{m_B}. \qquad (33)\] Первое из этих уравнений имеет два различных решения: \[1)\ c_2 = 0 \ \text{и}\ c_3 \ne 0, \qquad 2)\ c_3 = 1 \ \text{и}\ c_2 \ne 0. \qquad (34)\] Первое решение, подставленное в (33), даёт \[\frac{1}{m_A} = \left(2 - \frac{1 + c_3}{c_2}\right)\frac{1}{m_B}. \qquad (35)\] Если в правой части непосредственно положить \(c_2 = 0\), выражение расходится. Чтобы этого не произошло, выражение \(1 + c_3\) должно обращаться в нуль, откуда \[c_3 = -1. \qquad (36)\] Итак, имеем \[x_2 = 0, \quad x_3 = -x_1. \qquad (37)\] Из (29) и (37) получаем \[r_1 = k; \quad \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m_A}}. \qquad (38)\] Угловая частота \(\omega_3\) равна \(\omega_1\), потому что решение фактически было получено при этом условии. Дополнительная сложность в том, что частота \(\omega_2\) получается неопределённой, поскольку в этой моде колебаний атом 2 вообще не движется. От участников не требовалось дальше анализировать этот факт; достаточно было получить результат, что центральный атом не движется.

Второе решение в (34), т. е. \(c_3 = 1\) и \(c_2 \ne 0\), после подстановки в (33) даёт \[\frac{1 - c_2}{m_A} = 2\left(1 - \frac{1}{c_2}\right)\frac{1}{m_B}. \qquad (39)\] Это даёт квадратное уравнение для \(c_2\): \[c_2^2 + \left(\frac{2m_A}{m_B} - 1\right)c_2 - \frac{2m_A}{m_B} = 0. \qquad (40)\] Его корни \[c_{2,1} = 1; \quad c_{2,2} = -\frac{2m_A}{m_B}. \qquad (41)\] Первое решение соответствует одинаковым амплитудам всех атомов, что снова означает, что никакие связи не растянуты и колебаний нет. Второй корень даёт \[F_1 = -k\left(1 + \frac{2m_A}{m_B}\right) = -r_1x_1 \qquad (41)\] с соответствующей угловой частотой колебаний \[\omega_1 = \sqrt{\frac{r_1}{m_A}} = \sqrt{k\left(\frac{2}{m_B} + \frac{1}{m_A}\right)}. \qquad (42)\] Как и в части 2 задачи, решение можно получить также из обращения в нуль определителя, составленного из уравнений движения. Они таковы: \[F_1 = m_A\ddot x_1 = -k(x_1 - x_2),\] \[F_2 = m_B\ddot x_2 = -k(-x_1 + 2x_2 - x_3),\] \[F_3 = m_A\ddot x_3 = -k(x_3 - x_2). \qquad (43)\] Снова предполагая комплексное экспоненциальное решение \[x_i = x_{i0}e^{i\omega t}, \qquad (44)\] получаем линейную систему уравнений, вынося экспоненту за скобки: \[(k - m_A\omega^2)x_{10} - kx_{20} = 0,\] \[-kx_{20} + (2k - m_B\omega^2)x_{20} - kx_{30} = 0,\] \[kx_{20} + (k - m_A\omega^2)x_{30} = 0. \qquad (45)\]

Условие существования ненулевого решения снова \[\begin{vmatrix} k - m_A\omega^2 & -k & 0 \\ -k & 2k - m_B\omega^2 & -k \\ 0 & -k & k - m_A\omega^2 \end{vmatrix} = 0. \qquad (46)\] Корни определителя получаются такими: \[\omega_1 = 0; \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m_A}}; \quad \omega_3 = \sqrt{k\left(\frac{2}{m_B} + \frac{1}{m_A}\right)}, \qquad (47)\] что воспроизводит прежние результаты. Амплитуды тривиально находятся подстановкой корней по одному в систему уравнений. Этот способ решения, конечно, гораздо быстрее, чем предложенный в тексте, но не предполагалось, что участники должны владеть более продвинутыми методами. С другой стороны, те, кто так сделал, получали баллы за правильное решение, хотя и шли более коротким путём, требующим меньше физических рассуждений, чем предложено в формулировке задачи.

4) В рамках принятой модели заметим, что \(\omega_3 > \omega_2\), так что более высокую частоту колебаний, т. е. \(7{,}042\cdot 10^{13}\) Гц, следует сопоставить \(\omega_3\), а более низкую, \(3{,}998\cdot 10^{13}\) Гц, — \(\omega_2\). Сначала отметим связь между угловой частотой и частотой: \[\omega = 2\pi\nu. \qquad (48)\] Таким образом, \[\omega_2 = 2\pi\nu_2; \quad \omega_3 = 2\pi\nu_3. \qquad (49)\] Оценки для \(k\) получаются такими: \[k_2 \approx m_A\omega_2^2 \approx 1670\text{ Н/м},\] \[k_3 \approx \left(\frac{m_Am_B}{2m_A + m_B}\right)\omega_3^2 \approx 1420\text{ Н/м}. \qquad (50)\] Согласие разумное. От участников не ожидали дальнейших рассуждений о причинах расхождения. Эта часть задачи была скорее задумана как иллюстрация степени точности, присущей простой модели такого рода.