Спутник в солнечных лучах
5/10В этой задаче вы вычислите температуру космического спутника. Спутник считается шаром диаметром 1 м. Весь спутник имеет одинаковую температуру. Вся сферическая поверхность спутника покрыта одним и тем же покрытием. Спутник находится вблизи Земли, но не в земной тени.
Температура поверхности Солнца (его температура как абсолютно чёрного тела) \(T_{sun} = 6000\) К, а его радиус \(6{,}96\times 10^8\) м. Расстояние между Солнцем и Землёй \(1{,}5\times 10^{11}\) м. Солнечный свет нагревает спутник до температуры, при которой излучение спутника как абсолютно чёрного тела равно мощности, поглощаемой от солнечного света. Мощность, излучаемая единицей площади абсолютно чёрного тела, даётся законом Стефана–Больцмана \(P = \sigma T^4\), где \(\sigma\) — универсальная постоянная \(5{,}67\times 10^{-8}\) Вт\(\cdot\)м\(^{-2}\)К\(^{-4}\). В первом приближении можно считать, что и Солнце, и спутник поглощают всё падающее на них электромагнитное излучение.
1) Найдите выражение для температуры \(T\) спутника. Каково численное значение этой температуры?
2) Спектр излучения абсолютно чёрного тела \(u(T, f)\) для тела при температуре \(T\) подчиняется закону излучения Планка \[u(T, f)\,df = \frac{8\pi k^4T^4}{c^3h^3}\,\frac{\eta^3\,d\eta}{e^\eta - 1},\] где \(\eta = hf/kT\), а \(u(T, f)\,df\) — плотность энергии электромагнитного излучения в интервале частот \([f, f + df]\). В уравнении \(h = 6{,}6\times 10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с — постоянная Планка, \(k = 1{,}4\times 10^{-23}\) Дж\(\cdot\)К\(^{-1}\) — постоянная Больцмана, а \(c = 3{,}0\times 10^8\) м\(\cdot\)с\(^{-1}\) — скорость света.
Спектр абсолютно чёрного тела, проинтегрированный по всем частотам \(f\) и направлениям излучения, даёт полную мощность излучения с единицы площади \(P = \sigma T^4\), как в приведённом выше законе Стефана–Больцмана: \[\sigma = \frac{2\pi^5k^4}{15\,c^2h^3}.\] На рисунке показан нормированный спектр \[\frac{c^3h^3}{8\pi k^4}\,\frac{u(T, f)}{T^4}\] как функция \(\eta\).
Во многих приложениях необходимо держать спутник как можно более холодным. Чтобы охладить спутник, инженеры используют отражающее покрытие, которое отражает свет выше частоты отсечки, но не препятствует уходу теплового излучения на более низких частотах. Считайте, что эта (резкая) частота отсечки соответствует \(hf/k = 1200\) К.
Какова новая равновесная температура спутника? Точный ответ не нужен. Поэтому не выполняйте утомительных интегрирований; делайте приближения, где необходимо. Интеграл по всему диапазону равен \[\int_0^\infty \frac{\eta^3\,d\eta}{e^\eta - 1} = \frac{\pi^4}{15},\] а максимум \(\eta^3/(e^\eta - 1)\) достигается при \(\eta \approx 2{,}82\). При малых \(\eta\) экспоненту можно разложить как \(e^\eta \approx 1 + \eta\).
3) Если теперь у нас реальный спутник с выдвинутыми солнечными панелями, вырабатывающими электричество, то тепло, рассеиваемое в электронике внутри спутника, действует как дополнительный источник тепла. Считая мощность внутреннего источника тепла равной 1 кВт, найдите равновесную температуру спутника в случае 2 выше.
4) Производитель рекламирует специальную краску так:
«Эта краска отражает более 90 % всего падающего излучения (как видимого света, так и инфракрасного), но излучает на всех частотах (видимый свет и инфракрасный) как абсолютно чёрное тело, отводя тем самым много тепла от спутника. Поэтому краска поможет держать спутник как можно более холодным».
Может ли существовать такая краска? Почему да или почему нет?
5) Какими свойствами должно обладать покрытие, чтобы поднять температуру шарообразного тела, подобного рассматриваемому здесь спутнику, выше температуры, вычисленной в пункте 1?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСпутник поглощает солнечный поток площадью сечения \(\pi r^2\), а излучает всей поверхностью \(4\pi r^2\). При отсечке \(\eta_{cutoff} \ll 1\) подынтегральное выражение в законе Планка можно заменить на \(\eta^2\) и найти долю поглощаемой мощности.
Ответ1) \(T_{sat} = T_{Sun}\sqrt{\dfrac{R_{Sun}}{2R}} = 289\) К \(= 16\) °C; 2) \(\delta \approx \dfrac{\eta_{cutoff}^3/3}{\pi^4/15} = 4{,}1\cdot 10^{-4}\), \(T_{sat} = \delta^{1/4}\cdot 289\) К \(= 41\) К; 3) \(P_{internal} = 4\pi r_{sat}^2\sigma T_{sat}^4\) даёт \(274\) К; с учётом отсечки излучения точное решение \(\eta = 3{,}80\), \(T = 316\) К; 4) не может: нарушается второе начало термодинамики (принцип детального равновесия); 5) покрытие должно быть прозрачным на высоких частотах (солнечное излучение) и отражающим на низких (тепловое излучение спутника).
Решение1. Со всей поверхности Солнца излучаемая энергия равна \(4\pi R_{Sun}^2\cdot\sigma T_{Sun}^4\). Вся эта энергия проходит через сферическую оболочку на расстоянии Земли \(R\), где интенсивность теперь равна \(4\pi R_{Sun}^2\cdot\sigma T_{Sun}^4/4\pi R^2\).
Спутник — круглый объект, поглощающий \[\pi r_{sat}^2\cdot\frac{4\pi R_{Sun}^2\cdot\sigma T_{Sun}^4}{4\pi R^2},\] но сферический объект, излучающий \(4\pi r_{sat}^2\cdot\sigma T_{sat}^4\).
Приравнивая это поглощение и излучение, получаем \(T_{sat} = T_{Sun}\sqrt{\dfrac{R_{Sun}}{2R}}\), что даёт \(T_{sat} = 289\) К \(= 16\) °C.
2. Нужно вычислить, какая часть поглощённой мощности приходится на часть спектра ниже 1200 К. \[\eta_{cutoff} = \frac{1200\text{ К}}{6000\text{ К}} = 0{,}2 \ll 1.\] Эта доля мощности равна \[\delta = \int_0^{\eta_{cutoff}} \frac{\eta^3\,d\eta}{e^\eta - 1}\Bigg/\int_0^{\eta_\infty} \frac{\eta^3\,d\eta}{e^\eta - 1} \approx \int_0^{\eta_{cutoff}} \eta^2\,d\eta\Bigg/\frac{\pi^4}{15} = \frac{\eta_{cutoff}^3}{3}\Bigg/\frac{\pi^4}{15} = 4{,}1\cdot 10^{-4}.\] Теперь спутник холоден по сравнению с 1200 К, поэтому пренебрегаем тем, что небольшая часть излучения спутника как абсолютно чёрного тела будет удержана. Баланс энергии теперь таков: \[4\pi r_{sat}^2\cdot\sigma T_{sat}^4 = \delta\cdot\pi r_{sat}^2\cdot\frac{4\pi R_{Sun}^2\cdot\sigma T_{Sun}^4}{4\pi R^2},\] откуда новая температура спутника — прежняя, исправленная множителем \(\delta^{1/4}\): \[T_{sat} = (4{,}1\cdot 10^{-4})^{1/4}\cdot 289\text{ К} = 41\text{ К}.\]
3. Вся поглощённая энергия равна \[\delta\cdot\pi r_{sat}^2\cdot\frac{4\pi R_{Sun}^2\cdot\sigma T_{Sun}^4}{4\pi R^2} = 0{,}5\text{ Вт},\] что мало (пренебрежимо) по сравнению с \(P_{internal} = 1\) кВт. Поэтому баланс энергии принимает вид \[P_{internal} = 4\pi r_{sat}^2\cdot\sigma T_{sat}^4,\] что даёт \(T_{sat} = 274\) К (\(\eta = 4{,}38\)). Примечание: строго говоря, это неточно, потому что для излучения абсолютно чёрного тела при 274 К около 33 % излучаемой мощности лежит выше отсечки 1200 К! Это означает, что спутник должен быть горячее, чтобы излучать весь 1 кВт на частотах ниже отсечки. Получающееся интегральное уравнение \[\left(\frac{\eta}{4{,}38}\right)^4 = \int_0^\eta \frac{\eta^3\,d\eta}{e^\eta - 1}\Bigg/\frac{\pi^4}{15}\] можно решить численно итерациями. Истинное решение \(\eta = 3{,}80\), что соответствует температуре 316 К.
4. Такая краска не может существовать, потому что она нарушала бы второе начало термодинамики. Объяснение из учебников физики — принцип детального равновесия, означающий, что для существования равновесия излучение и поглощение в данном интервале частот должны точно совпадать. Это не следует путать с тем, что отражение и поглощение могут сильно различаться. Если бы краска производителя существовала, можно было бы создать разность температур между двумя телами в замкнутой системе, а значит — вечный двигатель.
5. Покрытие должно быть прозрачным для высоких частот (в области пика или хвоста солнечного излучения), но отражающим и, следовательно, теплоизолирующим на низких частотах (температура спутника).
Похожие задачи
- Энергия солнечного излучения МОШ 2013/14, 7-11 кл.
- Пирометрия IEPhO 2019/20, 9 кл.
- Нагревание лампой IEPhO 2021/22, 8 кл.
- Нагревание лампой IEPhO 2021/22, 9 кл.
- Температура астероида МОШ 1987/88, 10 кл.
- Станция в тонкой сферической оболочке ИОШ 2014/15, 9-10 кл.