Почему звёзды такие большие?

Для двух сближающихся с равными скоростями зарядов приравняйте начальную кинетическую энергию электрической энергии в точке наибольшего сближения. Давление в центре звезды найдите из равновесия слоя газа: плотность при этом сократится. Квантовое условие \(d_c=\lambda/\sqrt2\) вместе с законом сохранения энергии сразу даёт скорость протонов, не зависящую от температуры.

1a) \(T_c=\dfrac{q^2}{12\pi\varepsilon_0 k d_c}\approx5{,}4\cdot10^{9}~\text{К}\);  2a) \(T_c=\dfrac{GMm_p}{2kR}\);  2b) \(\dfrac{M}{R}=\dfrac{2kT_c}{Gm_p}\);  2c) \(\dfrac{M}{R}\approx1{,}3\cdot10^{24}~\text{кг/м}\);  2d) \(\dfrac{M_S}{R_S}\approx2{,}9\cdot10^{21}~\text{кг/м}\), в \(\approx470\) раз меньше;  3a) \(T_c=\dfrac{q^4m_p}{24\pi^2\varepsilon_0^2kh^2}\);  3b) \(T_c\approx9{,}7\cdot10^{6}~\text{К}\);  3c) \(\dfrac{M}{R}\approx2{,}4\cdot10^{21}~\text{кг/м}\);  4a) \(\dfrac{M}{R}=\dfrac{q^4}{12\pi^2\varepsilon_0^2Gh^2}\);  5a) \(n_e=\dfrac{M}{(4/3)\pi R^3m_p}\);  5b) \(d_e=n_e^{-1/3}=\left(\dfrac{4\pi R^3m_p}{3M}\right)^{1/3}\);  5c) \(R\ge\dfrac{\varepsilon_0^{1/2}h^2}{\sqrt2\,q\,m_e^{3/4}m_p^{5/4}G^{1/2}}\);  5d) \(R_{\min}\approx6{,}9\cdot10^{7}~\text{м}\approx0{,}10\,R_S\);  5e) \(M_{\min}\approx1{,}7\cdot10^{29}~\text{кг}\approx0{,}08\,M_S\);  6a) \(v_{\text{кв}}(\text{He})=\dfrac{\sqrt2\,q^2}{\pi\varepsilon_0h}\approx2{,}0\cdot10^{6}~\text{м/с}\), \(T(\text{He})\approx6{,}2\cdot10^{8}~\text{К}\).

Что происходит. Звезда держится в равновесии: давление раскалённого газа не даёт силе тяжести сжать её. Синтез водорода идёт, когда протоны сближаются так, что начинают действовать ядерные силы. Классический расчёт требует для этого температуры порядка \(5\cdot10^{9}\) К, а равновесие звезды даёт для центра Солнца порядка \(10^{7}\) К — в сотни раз меньше. Расхождение снимает квантовая механика: протон — волна, размытая на длину де Бройля \(\lambda_p\), поэтому волны двух протонов перекрываются задолго до сближения на \(10^{-15}\) м. Из условия перекрытия температура выражается только через мировые постоянные, а из равновесия — отношение \(M/R\) у всех звёзд, сжигающих водород, одинаково. Нижний предел размера звезды даёт требование, чтобы электроны не вырождались.

Обозначения. \(m_p\), \(m_e\) — массы протона и электрона, \(q\) — элементарный заряд, \(v_{\text{кв}}\) — среднеквадратичная скорость, \(T_c\) — температура в центре звезды, \(d_c\) — расстояние наибольшего сближения протонов, \(\lambda_p=h/(m_pv_{\text{кв}})\) — длина волны де Бройля протона. Газ — полностью ионизованный водород: протонов и электронов поровну.

Рис. 3. Лобовое сближение двух протонов: вначале они далеко и вся энергия кинетическая; в точке наибольшего сближения \(v=0\), остановившихся протонов отталкивает сила \(\vec F\), вся энергия электрическая.

1a. Запишем закон сохранения энергии для системы двух протонов между состоянием «далеко друг от друга» и состоянием наибольшего сближения. Скорости равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому в точке наибольшего сближения оба протона одновременно останавливаются: вся кинетическая энергия переходит в электрическую энергию двух точечных зарядов на расстоянии \(d_c\): \[2\cdot\frac{m_pv_{\text{кв}}^2}{2}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0d_c}.\] Температуру газа связывает с \(v_{\text{кв}}\) средняя кинетическая энергия поступательного движения частицы идеального газа: \[\frac32\,kT_c=\frac{m_pv_{\text{кв}}^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad m_pv_{\text{кв}}^2=3kT_c.\] Подставляем в закон сохранения энергии и выражаем температуру: \[3kT_c=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0d_c}\quad\Longrightarrow\quad T_c=\frac{q^2}{12\pi\varepsilon_0\,k\,d_c}.\] Обратите внимание: \(v_{\text{кв}}\) — трёхмерная среднеквадратичная скорость хаотического движения, поэтому в \(T_c\) стоит \(\frac32kT\); одномерным мы считаем только само столкновение — это модель сближения.

Подставляем \(d_c=10^{-15}\) м: \[T_c=\frac{(1{,}6\cdot10^{-19})^2}{12\pi\cdot8{,}9\cdot10^{-12}\cdot1{,}4\cdot10^{-23}\cdot10^{-15}}\approx5{,}4\cdot10^{9}~\text{К}.\] Проверка: размерность \(q^2/(\varepsilon_0 d)\) — это Н\(\cdot\)м, то есть джоуль, а деление на \(k\) даёт кельвины. При увеличении \(d_c\) температура падает: чем ближе нужно подойти, тем горячее газ. По данным условия получается \(5{,}45\cdot10^{9}\) К, то есть \(5{,}4\cdot10^{9}\) К; у организаторов \(5{,}5\cdot10^{9}\) К — то же число, округлённое вверх.

Рис. 4. Силы на тонкий слой газа толщиной \(\Delta r\) и площадью \(S\): давление снизу \(P_{\text{вн}}S\) (наружу), давление сверху \(P_{\text{нар}}S\) (внутрь) и тяжесть слоя \(\Delta m\,\vec g_r\) (длины стрелок условны).

2a. Уравнение равновесия выводится так. Возьмём слой толщиной \(\Delta r\) и площадью \(S\) на расстоянии \(r\) от центра. На него действуют давление газа изнутри \(P_{\text{вн}}S\) (направлено наружу), давление снаружи \(P_{\text{нар}}S\) (внутрь) и сила тяжести \(\Delta m\,g_r\) (внутрь), где \(\Delta m=\rho_rS\Delta r\), а \(g_r=GM_r/r^2\) — ускорение свободного падения на расстоянии \(r\) (поле шара снаружи совпадает с полем точечной массы \(M_r\) в центре). Равновесие слоя в проекции на радиус: \[(P_{\text{вн}}-P_{\text{нар}})S=\rho_rS\Delta r\,\frac{GM_r}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2},\qquad \Delta P=P_{\text{нар}}-P_{\text{вн}},\] что совпадает с приведённой в условии формулой. Применим её ко всей звезде по заданным приближениям: \(\Delta P\approx-P_c\), \(\Delta r\approx R\), \(M_r\approx M\), \(\rho_r\approx\rho_c\), \(r\approx R\): \[\frac{P_c}{R}=\frac{GM\rho_c}{R^2}\quad\Longrightarrow\quad P_c=\frac{GM\rho_c}{R}.\] Давление газа в центре — давление идеального газа из протонов и электронов. Частиц одного сорта в единице объёма \(n=\rho_c/m_p\), так как масса электронов мала (\(m_e\ll m_p\)) и вся масса приходится на протоны; электроны дают такой же вклад \(nkT_c\) в давление, как и протоны (закон Дальтона), поэтому \[P_c=2nkT_c=\frac{2\rho_ckT_c}{m_p}.\] Приравниваем два выражения для \(P_c\); неизвестная плотность \(\rho_c\) сокращается: \[\frac{2\rho_ckT_c}{m_p}=\frac{GM\rho_c}{R}\quad\Longrightarrow\quad T_c=\frac{GMm_p}{2kR}.\] Проверка: размерность \(GMm_p/(kR)\) — это энергия, делённая на \(k\), то есть температура. Масштаб такой же, как у вириальной оценки: тепловая энергия на частицу порядка гравитационной энергии протона у поверхности \(GMm_p/R\).

2b. Из равенства \(T_c=\dfrac{GMm_p}{2kR}\) выражаем отношение: \[\frac{M}{R}=\frac{2kT_c}{Gm_p}.\]

2c. Подставляем \(T_c=5{,}4\cdot10^{9}\) К из (1a): \[\frac{M}{R}=\frac{2\cdot1{,}4\cdot10^{-23}\cdot5{,}4\cdot10^{9}}{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot1{,}7\cdot10^{-27}}\approx1{,}3\cdot10^{24}~\text{кг/м}.\] (С округлённой организаторами температурой \(5{,}5\cdot10^{9}\) К получается \(1{,}4\cdot10^{24}\) кг/м.)

2d. Для Солнца \[\frac{M_S}{R_S}=\frac{2{,}0\cdot10^{30}}{7{,}0\cdot10^{8}}\approx2{,}9\cdot10^{21}~\text{кг/м}.\] Это примерно в \(470\) раз, то есть на \(2{,}7\) порядка, меньше значения из (2c): классическая температура \(5{,}4\cdot10^{9}\) К несовместима с равновесием звезды. Подстановка массы и радиуса Солнца в (2a) даёт для центра \(T_c\approx1{,}2\cdot10^{7}\) К — как раз во столько же раз меньше.

Рис. 5. Отношение \(M/R\) на логарифмической шкале: классическая оценка (пункт 2c) лежит почти на три порядка выше значения для Солнца, квантовая оценка (пункт 3c) — рядом с ним.

3a. Запишем длину волны де Бройля протона \(\lambda_p=\dfrac{h}{m_pv_{\text{кв}}}\) и условие синтеза \(d_c=\dfrac{\lambda_p}{\sqrt2}=\dfrac{h}{\sqrt2\,m_pv_{\text{кв}}}\). Закон сохранения энергии из (1a), \(m_pv_{\text{кв}}^2=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0d_c}\), остаётся в силе. Исключим \(d_c\): \[m_pv_{\text{кв}}^2=\frac{q^2\sqrt2\,m_pv_{\text{кв}}}{4\pi\varepsilon_0h}\quad\Longrightarrow\quad v_{\text{кв}}=\frac{\sqrt2\,q^2}{4\pi\varepsilon_0h}=\frac{q^2}{2\sqrt2\,\pi\varepsilon_0h}.\] Скорость не зависит от температуры и определяется только константами. Температуру находим из \(\frac32kT_c=\frac12m_pv_{\text{кв}}^2\): \[T_c=\frac{m_pv_{\text{кв}}^2}{3k}=\frac{m_p}{3k}\cdot\frac{q^4}{8\pi^2\varepsilon_0^2h^2}=\frac{q^4m_p}{24\pi^2\varepsilon_0^2\,k\,h^2}.\] Проверка: тот же результат даёт подстановка \(d_c=\lambda_p/\sqrt2\) в формулу \(T_c=\dfrac{q^2}{12\pi\varepsilon_0kd_c}\) с \(v_{\text{кв}}=\sqrt{3kT_c/m_p}\) (получается линейное уравнение для \(\sqrt{T_c}\) и тот же ответ).

Рис. 6. Волновые пакеты двух протонов: ширина каждого порядка \(\lambda_p\), расстояние между центрами \(d_c=\lambda_p/\sqrt2\approx0{,}71\lambda_p\) — пакеты заметно перекрываются (закрашено).

3b. Подставляем числа: \[v_{\text{кв}}=\frac{q^2}{2\sqrt2\,\pi\varepsilon_0h}\approx4{,}9\cdot10^{5}~\text{м/с},\qquad T_c=\frac{(1{,}6\cdot10^{-19})^4\cdot1{,}7\cdot10^{-27}}{24\pi^2\,(8{,}9\cdot10^{-12})^2\cdot1{,}4\cdot10^{-23}\cdot(6{,}6\cdot10^{-34})^2}\approx9{,}7\cdot10^{6}~\text{К}.\] При этом \(\lambda_p\approx8\cdot10^{-13}\) м и \(d_c\approx5{,}6\cdot10^{-13}\) м — более чем в 500 раз больше классических \(10^{-15}\) м: волны перекрываются задолго до такого сближения, поэтому и нужна температура в сотни раз ниже.

3c. По формуле (2b) с \(T_c=9{,}7\cdot10^{6}\) К: \[\frac{M}{R}=\frac{2kT_c}{Gm_p}\approx2{,}4\cdot10^{21}~\text{кг/м},\] а у Солнца \(M_S/R_S\approx2{,}9\cdot10^{21}\) кг/м. Значения отличаются лишь в \(1{,}2\) раза (рис. 5), а не в сотни, как в классическом расчёте. Температура центра Солнца из (2a), \(1{,}2\cdot10^{7}\) К, близка к \(9{,}7\cdot10^{6}\) К: модель согласована.

4a. В формулу (2b) подставляем \(T_c\) из (3a): \[\frac{M}{R}=\frac{2k}{Gm_p}\cdot\frac{q^4m_p}{24\pi^2\varepsilon_0^2kh^2}=\frac{q^4}{12\pi^2\varepsilon_0^2\,G\,h^2}.\] Постоянные \(k\) и \(m_p\) сократились; в правой части только мировые константы, поэтому \(M/R\) одинаково у всех звёзд, в которых идёт синтез водорода. Проверка размерности: \(q^2/\varepsilon_0\) — это Дж\(\cdot\)м, \(G\) — Дж\(\cdot\)м/кг\(^2\), \(h\) — Дж\(\cdot\)с, и \[\frac{(\text{Дж}\cdot\text{м})^2}{(\text{Дж}\cdot\text{м}/\text{кг}^2)(\text{Дж}\cdot\text{с})^2}=\frac{\text{кг}^2\cdot\text{м}}{\text{Дж}\cdot\text{с}^2}=\frac{\text{кг}}{\text{м}}.\] Численно \(M/R\approx2{,}4\cdot10^{21}\) кг/м, как в (3c).

Рис. 7. Электроны в звезде: вокруг каждого — «облако» диаметром \(\lambda_e/\sqrt2\). Слева облака не перекрываются, \(d_e>\lambda_e/\sqrt2\): идеальный газ. Справа перекрываются, \(d_e<\lambda_e/\sqrt2\): газ вырожден.

5a. Масса звезды — это почти только масса протонов (\(m_p\gg m_e\)), их число \(N=M/m_p\), электронов столько же. При однородной плотности объём звезды \(\frac43\pi R^3\), поэтому \[n_e=\frac{N}{V}=\frac{M}{\frac43\pi R^3\,m_p}.\]

5b. На один электрон приходится объём \(1/n_e\); типичное расстояние между электронами — ребро такого кубика: \[d_e=n_e^{-1/3}=\left(\frac{4\pi R^3m_p}{3M}\right)^{1/3}.\]

5c. Условие идеальности газа — облака электронов не перекрываются: \(d_e\ge\lambda_e/\sqrt2\). Длину волны де Бройля электрона находим по его скорости \(v_e\), связанной с температурой, как и у протона: \(\frac32kT_c=\frac12m_ev_e^2\), откуда \(m_ev_e=\sqrt{3kT_cm_e}\) и \[\lambda_e=\frac{h}{m_ev_e}=\frac{h}{\sqrt{3kT_cm_e}}.\] Обратите внимание: температура у протонов и электронов одна и та же, а длины волн разные: при той же тепловой энергии лёгкий электрон имеет импульс в \(\sqrt{m_p/m_e}\approx43\) раза меньше, а его волна — во столько же раз длиннее, поэтому электронам перекрыться легче, чем протонам.

Подставим \(d_e\) и \(\lambda_e\) в условие и возведём в куб: \[\frac{4\pi R^3m_p}{3M}\ge\frac{h^3}{2\sqrt2\,(3kT_cm_e)^{3/2}}.\] Заменим \(M=\dfrac{M}{R}\,R\), где \(\dfrac{M}{R}=\dfrac{2kT_c}{Gm_p}\) по (2b); радиус остаётся в квадрате: \[R^2\ge\frac{3}{4\pi m_p}\cdot\frac{2kT_c}{Gm_p}\cdot\frac{h^3}{2\sqrt2\,(3kT_cm_e)^{3/2}}=\frac{h^3}{4\sqrt6\,\pi\,G\,m_p^2m_e^{3/2}\sqrt{kT_c}}.\] Температура центра — из (3a): \(kT_c=\dfrac{q^4m_p}{24\pi^2\varepsilon_0^2h^2}\), то есть \(\sqrt{kT_c}=\dfrac{q^2m_p^{1/2}}{2\sqrt6\,\pi\varepsilon_0h}\). Подставляем: \[R^2\ge\frac{h^3\cdot2\sqrt6\,\pi\varepsilon_0h}{4\sqrt6\,\pi\,G\,m_p^2m_e^{3/2}q^2m_p^{1/2}}=\frac{\varepsilon_0h^4}{2\,G\,q^2m_e^{3/2}m_p^{5/2}} \quad\Longrightarrow\quad R\ge\frac{\varepsilon_0^{1/2}\,h^2}{\sqrt2\,q\,m_e^{3/4}m_p^{5/4}G^{1/2}}.\] (Здесь \(\sqrt2=4^{1/4}\), как в записи организаторов.) Ответ не содержит ни \(k\), ни массы звезды: нижняя граница размера определяется только мировыми константами. Проверка размерности: \(\sqrt{\varepsilon_0}/q\sim(\text{Дж}\cdot\text{м})^{-1/2}\), \(G^{-1/2}\sim(\text{Дж}\cdot\text{м})^{-1/2}\,\text{кг}\), \(h^2\sim\text{Дж}^2\text{с}^2\), \(m_e^{-3/4}m_p^{-5/4}\sim\text{кг}^{-2}\), и \[\frac{\text{Дж}^2\text{с}^2\cdot\text{кг}}{\text{Дж}\cdot\text{м}\cdot\text{кг}^2}=\frac{\text{Дж}\cdot\text{с}^2}{\text{м}\cdot\text{кг}}=\text{м}.\] Предел: \(R_{\min}\propto G^{-1/2}\) — чем сильнее тяготение, тем меньший объём достаточно сжать до вырождения электронов.

5d. Подставляем числа: \[R_{\min}=\frac{\sqrt{8{,}9\cdot10^{-12}}\,(6{,}6\cdot10^{-34})^2}{\sqrt2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(9{,}1\cdot10^{-31})^{3/4}(1{,}7\cdot10^{-27})^{5/4}\sqrt{6{,}7\cdot10^{-11}}}\approx6{,}9\cdot10^{7}~\text{м}\approx0{,}10\,R_S.\] Проверка: при \(R_{\min}\) получаем \(n_e\approx7\cdot10^{31}\) м\(^{-3}\), \(d_e\approx2{,}4\cdot10^{-11}\) м, а \(\lambda_e\approx3{,}4\cdot10^{-11}\) м, то есть \(\lambda_e/\sqrt2\approx2{,}4\cdot10^{-11}\) м — условие \(d_e=\lambda_e/\sqrt2\) выполняется точно в граничном случае.

5e. Масса самой маленькой звезды — по общему для всех звёзд отношению (4a): \[M_{\min}=\frac{M}{R}\,R_{\min}\approx2{,}4\cdot10^{21}\cdot6{,}9\cdot10^{7}\approx1{,}7\cdot10^{29}~\text{кг}\approx0{,}08\,M_S.\] (Точнее \(0{,}083\,M_S\); организаторы пишут \(0{,}09\,M_S\), округляя в другую сторону.) Звезда меньшей массы имела бы по (4a) радиус меньше \(R_{\min}\), и электроны в ней вырождались бы: рис. 8 показывает, что на диаграмме \(M\)–\(R\) допустимы только точки правее \(R_{\min}\).

Рис. 8. Диаграмма «масса — радиус» в логарифмическом масштабе (в единицах \(M_S\) и \(R_S\)): все звёзды, сжигающие водород, лежат на прямой \(M/R=\text{const}\) (по формуле 4a), левее \(R_{\min}\) электроны вырождены. Солнце лежит чуть выше прямой, что согласуется со сделанными оценками порядка величины.

6a. Для ядер гелия заряд \(2q\), масса \(m_{\text{He}}\approx4m_p\). Закон сохранения энергии для двух ядер, сближающихся с равными скоростями, — как в (1a), но с зарядами \(2q\): \[2\cdot\frac{m_{\text{He}}v_{\text{кв}}^2}{2}=\frac{(2q)^2}{4\pi\varepsilon_0d_c}\quad\Longrightarrow\quad m_{\text{He}}v_{\text{кв}}^2=\frac{q^2}{\pi\varepsilon_0d_c}.\] Эквивалентное условие синтеза: \(d_c=\dfrac{\lambda_{\text{He}}}{\sqrt2}=\dfrac{h}{\sqrt2\,m_{\text{He}}v_{\text{кв}}}\). Подставляем и сокращаем массу ядра: \[m_{\text{He}}v_{\text{кв}}^2=\frac{\sqrt2\,q^2\,m_{\text{He}}v_{\text{кв}}}{\pi\varepsilon_0h}\quad\Longrightarrow\quad v_{\text{кв}}(\text{He})=\frac{\sqrt2\,q^2}{\pi\varepsilon_0h}\approx2{,}0\cdot10^{6}~\text{м/с}.\] Температура — из \(\frac32kT=\frac12m_{\text{He}}v_{\text{кв}}^2\): \[T(\text{He})=\frac{m_{\text{He}}v_{\text{кв}}^2(\text{He})}{3k}=\frac{4m_p}{3k}\cdot\frac{2q^4}{\pi^2\varepsilon_0^2h^2}\approx6{,}2\cdot10^{8}~\text{К}.\] (Организаторы получают \(6{,}5\cdot10^{8}\) К, подставляя уже округлённую скорость \(2{,}0\cdot10^{6}\) м/с.)

Проверка относительно протонов: скорость в (3a) и здесь пропорциональна \(q^2\) и не зависит от массы, поэтому при вдвое большем заряде она больше в \(4\) раза (\(v_p=q^2/(2\sqrt2\,\pi\varepsilon_0h)\), \(v_{\text{He}}=\sqrt2\cdot2\sqrt2\,v_p=4v_p\)); температура \(T\propto mv^2\) растёт ещё в \(4\) раза из-за массы: \(T(\text{He})/T_c=4\cdot4^2=64\), \(64\cdot9{,}7\cdot10^{6}\approx6{,}2\cdot10^{8}\) К — то же число. Физический смысл: ядрам гелия нужна температура на два порядка выше, чем протонам, поэтому гелий в звезде загорается позже, когда водород в ядре израсходован и ядро сжимается и разогревается.

Рис. 9. Температуры синтеза на логарифмической шкале: протоны по квантовому условию, ядра гелия, протоны по классическому расчёту (пункт 1a).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.