Чёрные дыры

Размерности всех величин выражаются через \(M\), \(L\), \(T\), \(K\), и показатели степеней находятся из системы линейных уравнений. Энтропия чёрной дыры \(S=\eta A\), а температура Хокинга — это \(\theta_H=dE/dS\) при \(E=mc^2\); дальше всё определяется законом Стефана — Больцмана для площади \(A\).

1.1) \([h]=ML^2T^{-1}\), \([c]=LT^{-1}\), \([G]=M^{-1}L^3T^{-2}\), \([k_B]=ML^2T^{-2}K^{-1}\);  1.2) \([\sigma]=MT^{-3}K^{-4}\);  1.3) \(\alpha=-3\), \(\beta=-2\), \(\gamma=0\), \(\delta=4\), \(\sigma=\dfrac{k_B^4}{c^2h^3}\);  2.1) \(\alpha=2\), \(\beta=-4\), \(\gamma=2\), \(A=\dfrac{G^2m^2}{c^4}\);  2.2) \([S]=ML^2T^{-2}K^{-1}\);  2.3) \(\eta=\dfrac{c^3k_B}{Gh}\);  3.1) \(\theta_H=\dfrac{1}{2}\dfrac{c^3h}{Gk_Bm}\);  3.2) \(\dfrac{dm}{dt}=-\dfrac{1}{16}\dfrac{c^4h}{G^2m^2}\);  3.3) \(t^{*}=\dfrac{16G^2m^3}{3c^4h}\);  3.4) \(C=-\dfrac{2Gk_B}{ch}\,m^2\);  4.1) \(\dfrac{dm}{dt}=-\dfrac{hc^4}{16G^2m^2}+\dfrac{G^2}{c^8h^3}(k_B\theta_B)^4m^2\);  4.2) \(m^{*}=\dfrac{c^3h}{2Gk_B\theta_B}\);  4.3) \(\dfrac{dm}{dt}=-\dfrac{hc^4}{16G^2m^2}\left(1-\dfrac{m^4}{m^{*4}}\right)\);  4.4) \(\theta^{*}=\theta_B\);  4.5) неустойчиво.

Что происходит. Задача устроена как лестница из шагов, на каждом из которых величина находится из соображений размерности с точностью до безразмерного множителя, который по условию принимается равным 1. Сначала получаем размерности констант и выражаем \(\sigma\) через них; затем площадь горизонта \(A\propto m^2\) и энтропию чёрной дыры \(S=\eta A\). Дальше чистая термодинамика: температура \(\theta_H=dE/dS\) при \(E=mc^2\), потеря массы по закону Стефана — Больцмана, испарение; при этом теплоёмкость отрицательна. В конце чёрная дыра помещается в реликтовое излучение: излучение Хокинга сильнее у лёгких дыр, поглощение — у тяжёлых, и равновесие между ними неустойчиво.

Обозначения. \([x]\) — размерность \(x\) через \(M\), \(L\), \(T\) (время), \(K\) (температура); \(a=1\). Размерностью искомой комбинации называем произведение степеней основных размерностей, а равенство размерностей даёт линейную систему для показателей: отдельное уравнение для степени \(M\), \(L\), \(T\), \(K\).

Рис. 1. Чёрная дыра (схема): горизонт событий — сфера радиуса \(r_g\) и площади \(A\); свет изнутри наружу не выходит, свет снаружи может уйти или упасть внутрь.

1.1. Для каждой постоянной возьмём любое известное соотношение. Постоянная Планка: \(h\nu=E\), откуда \([h]=[E][\nu]^{-1}=ML^2T^{-2}\cdot T=ML^2T^{-1}\). Скорость света — скорость: \([c]=LT^{-1}\). Гравитационная постоянная: закон тяготения \(F=Gm^2/r^2\), откуда \([G]=[F][r]^2[m]^{-2}=MLT^{-2}\cdot L^2\cdot M^{-2}=M^{-1}L^3T^{-2}\). Постоянная Больцмана: \(E=k_B\theta\), \([k_B]=[E]K^{-1}=ML^2T^{-2}K^{-1}\). Проверка: то же \([k_B]\) следует из уравнения состояния \(pV=Nk_B\theta\): \([p][V]=ML^{-1}T^{-2}\cdot L^3=ML^2T^{-2}\) делится на \(K\).

1.2. Излучательная способность — энергия на единицу площади в единицу времени: \([\sigma\theta^4]=ML^2T^{-2}\cdot L^{-2}\cdot T^{-1}=MT^{-3}\). Отсюда \[[\sigma]=MT^{-3}K^{-4}.\]

1.3. Подставим \(\sigma=h^{\alpha}c^{\beta}G^{\gamma}k_B^{\delta}\) в размерности: \[MT^{-3}K^{-4}=(ML^2T^{-1})^{\alpha}(LT^{-1})^{\beta}(M^{-1}L^3T^{-2})^{\gamma}(ML^2T^{-2}K^{-1})^{\delta}.\] Приравниваем показатели при \(M\), \(L\), \(T\), \(K\): \[\begin{cases} \alpha-\gamma+\delta=1,\\ 2\alpha+\beta+3\gamma+2\delta=0,\\ -\alpha-\beta-2\gamma-2\delta=-3,\\ -\delta=-4. \end{cases}\] Из последнего \(\delta=4\). Тогда \(\alpha-\gamma=-3\); из второго и третьего (сложив их) \(\alpha+\gamma=-3\), значит \(\alpha=-3\), \(\gamma=0\); из второго \(\beta=-2\alpha-3\gamma-8=-2\). Получаем \[\sigma=\frac{k_B^4}{c^2h^3}.\] Проверка: настоящая постоянная \(\sigma=\pi^2k_B^4/(60\hbar^3c^2)\) — та же комбинация констант с числовым коэффициентом; степень \(G\) равна нулю: тяготение к излучению абсолютно чёрного тела отношения не имеет.

2.1. Горизонт событий определяется общей теорией относительности (скорость света \(c\) и тяготение \(G\)), квантовая постоянная \(h\) в классической картине не нужна, поэтому \(A=G^{\alpha}c^{\beta}m^{\gamma}\). Размерности: \[L^2=(M^{-1}L^3T^{-2})^{\alpha}(LT^{-1})^{\beta}M^{\gamma}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} -\alpha+\gamma=0,\\ 3\alpha+\beta=2,\\ -2\alpha-\beta=0. \end{cases}\] Сложив второе и третье уравнения, получаем \(\alpha=2\), тогда \(\beta=-4\) и \(\gamma=2\): \[A=\frac{G^2m^2}{c^4}.\] Смысл: в точной теории радиус горизонта \(r_g=2Gm/c^2\), и \(A=4\pi r_g^2=16\pi G^2m^2/c^4\); в анализе размерностей числовой множитель \(16\pi\) опускается. Площадь растёт как \(m^2\).

2.2. Из \(dS=dQ/\theta\): \([S]=[E]K^{-1}=ML^2T^{-2}K^{-1}\) — та же размерность, что у \(k_B\) и теплоёмкости.

2.3. Из \(S=\eta A\): \([\eta]=[S][A]^{-1}=ML^2T^{-2}K^{-1}\cdot L^{-2}=MT^{-2}K^{-1}\). Ищем \(\eta=h^{\alpha}c^{\beta}G^{\gamma}k_B^{\delta}\): \[\begin{cases} \alpha-\gamma+\delta=1,\\ 2\alpha+\beta+3\gamma+2\delta=0,\\ -\alpha-\beta-2\gamma-2\delta=-2,\\ -\delta=-1. \end{cases}\] Из последнего \(\delta=1\). Тогда \(\alpha=\gamma\); складывая второе и третье, \(\alpha+\gamma=-2\), получаем \(\alpha=\gamma=-1\), а из третьего \(\beta=3\): \[\eta=\frac{c^3k_B}{Gh}.\] Проверка размерности: \[\left[\frac{c^3k_B}{Gh}\right]=\frac{L^3T^{-3}\cdot ML^2T^{-2}K^{-1}}{M^{-1}L^3T^{-2}\cdot ML^2T^{-1}}=MT^{-2}K^{-1},\] как требуется.

3.1. Первое начало термодинамики \(dE=dQ+dW\); работа \(dW=0\) по условию, а по определению энтропии \(dQ=\theta_H\,dS\): \[dE=\theta_H\,dS\quad\Longrightarrow\quad\theta_H=\frac{dE}{dS}.\] Энтропия чёрной дыры \[S=\eta A=\frac{c^3k_B}{Gh}\cdot\frac{G^2m^2}{c^4}=\frac{Gk_B}{ch}\,m^2,\] энергия \(E=mc^2\). Поэтому \[\theta_H=\frac{c^2\,dm}{dS}=c^2\left(\frac{dS}{dm}\right)^{-1}=c^2\cdot\frac{ch}{2Gk_Bm}=\frac12\cdot\frac{c^3h}{Gk_B\,m}.\] Проверка: \(k_B\theta_H=c^3h/(2Gm)\) имеет размерность \(ML^5T^{-4}/(L^3T^{-2})=ML^2T^{-2}\) — энергию. Смысл: чем легче чёрная дыра, тем она горячее (\(\theta_H\propto1/m\)). Для массы Солнца (\(2\cdot10^{30}\) кг) получается \(\theta_H\approx5\cdot10^{-6}\) К (точная формула \(\theta_H=\hbar c^3/(8\pi Gk_Bm)\) даёт \(6\cdot10^{-8}\) К: безразмерный множитель здесь далёк от 1) — в любом случае гораздо холоднее реликтового фона (\(2{,}7\) К).

3.2. Чёрная дыра излучает, как абсолютно чёрное тело площадью \(A\) при температуре \(\theta_H\): потеря энергии \(dE/dt=-\sigma\theta_H^4A\), где \(E=mc^2\). Подставляем \(\sigma\), \(\theta_H\) и \(A\): \[c^2\frac{dm}{dt}=-\frac{k_B^4}{c^2h^3}\cdot\frac{c^{12}h^4}{16G^4k_B^4m^4}\cdot\frac{G^2m^2}{c^4}=-\frac{c^6h}{16G^2m^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dm}{dt}=-\frac{1}{16}\cdot\frac{c^4h}{G^2m^2}.\] Постоянная Больцмана сократилась. Знак минус — чёрная дыра теряет массу, и тем быстрее, чем она легче.

3.3. Разделим переменные и проинтегрируем от начала (масса \(m\)) до момента \(t^{*}\) полного испарения (\(m(t^{*})=0\)): \[\int_{m}^{0}m'^{2}\,dm'=-\frac{c^4h}{16G^2}\int_0^{t^{*}}dt\quad\Longrightarrow\quad-\frac{m^3}{3}=-\frac{c^4h}{16G^2}\,t^{*}.\] Отсюда \[t^{*}=\frac{16G^2m^3}{3c^4h},\qquad m^3(t)=m^3-\frac{3c^4h}{16G^2}\,t,\quad m(t)=m\left(1-\frac{t}{t^{*}}\right)^{1/3}.\] Масса убывает всё быстрее и обращается в нуль с бесконечной скоростью (рис. 2). Для массы Солнца \(t^{*}\sim10^{70}\) с — неизмеримо больше возраста Вселенной (\(\sim4\cdot10^{17}\) с).

Рис. 2. Масса изолированной чёрной дыры в процессе испарения Хокинга: убывание ускоряется, и в момент \(t^{*}\) масса обращается в нуль.

3.4. Теплоёмкость определяется изменением энергии с температурой: \(C=dE/d\theta_H\). Из 3.1 масса выражается через температуру: \(m=c^3h/(2Gk_B\theta_H)\), поэтому \(E=mc^2\propto1/\theta_H\) и \[C=\frac{dE}{d\theta_H}=-\frac{c^5h}{2Gk_B\theta_H^2}=-\frac{c^2m}{\theta_H}=-\frac{2Gk_B}{ch}\,m^2.\] Теплоёмкость отрицательна: при потере энергии чёрная дыра нагревается (рис. 3). Проверка: \(C=-2S\), поскольку \(S=Gk_Bm^2/(ch)\).

Рис. 3. Слева — температура Хокинга \(\theta_H(m)\) и фоновая температура \(\theta_B\): кривые пересекаются при \(m=m^{*}\). Справа — энергия \(E=mc^2\) как функция температуры: она убывает при росте температуры, поэтому \(C<0\).

4.1. Площадь та же; по условию за счёт фона дыра получает мощность \(\sigma\theta_B^4A\). Баланс энергии (рис. 4): \[c^2\frac{dm}{dt}=-\sigma\theta_H^4A+\sigma\theta_B^4A.\] Первое слагаемое найдено в 3.2, второе — по той же формуле с \(\theta_B\): \[\frac{dm}{dt}=-\frac{hc^4}{16G^2m^2}+\frac{1}{c^2}\cdot\frac{k_B^4\theta_B^4}{c^2h^3}\cdot\frac{G^2m^2}{c^4}=-\frac{hc^4}{16G^2m^2}+\frac{G^2}{c^8h^3}\,(k_B\theta_B)^4m^2.\]

Рис. 4. Баланс энергии чёрной дыры в реликтовом излучении: излучение Хокинга \(\sigma\theta_H^4A\) уходит, излучение фона \(\sigma\theta_B^4A\) приходит.

4.2. Приравниваем \(dm/dt=0\) при \(m=m^{*}\): \[\frac{hc^4}{16G^2m^{*2}}=\frac{G^2}{c^8h^3}(k_B\theta_B)^4m^{*2}\quad\Longrightarrow\quad m^{*4}=\frac{h^4c^{12}}{16G^4(k_B\theta_B)^4}\quad\Longrightarrow\quad m^{*}=\frac{c^3h}{2Gk_B\theta_B}.\] Для \(\theta_B=2{,}7\) К получаем \(m^{*}\sim4\cdot10^{24}\) кг — порядка массы планеты (с точностью до отброшенных безразмерных коэффициентов).

4.3. Выразим \(\theta_B\) из 4.2: \(k_B\theta_B=c^3h/(2Gm^{*})\). Подставим во второе слагаемое из 4.1: \[\frac{G^2}{c^8h^3}\cdot\frac{c^{12}h^4}{16G^4m^{*4}}\,m^2=\frac{c^4h}{16G^2m^2}\cdot\frac{m^4}{m^{*4}},\] поэтому \[\frac{dm}{dt}=-\frac{hc^4}{16G^2m^2}\left(1-\frac{m^4}{m^{*4}}\right).\]

4.4. В равновесии \(m=m^{*}\). По 3.1 и 4.2 \[\theta^{*}=\frac{c^3h}{2Gk_Bm^{*}}=\theta_B.\] Равновесие тепловое: температура дыры равна температуре фона, поэтому потоки энергии уравновешены.

4.5. Устойчивость определяется знаком производной от \(dm/dt\) по \(m\) в точке равновесия, либо знаком самого \(dm/dt\) около неё (рис. 5). Из 4.3: \[m>m^{*}\ \Rightarrow\ \frac{dm}{dt}>0,\qquad m<m^{*}\ \Rightarrow\ \frac{dm}{dt}<0.\] Если масса случайно чуть выросла, дыра продолжает расти; если уменьшилась — продолжает уменьшаться (вплоть до полного испарения). Математически: \[\frac{d}{dm}\!\left(\frac{dm}{dt}\right)\Big|_{m^{*}}=\frac{hc^4}{16G^2m^{*2}}\cdot\frac{4}{m^{*}}>0\] — отклонение нарастает. Равновесие неустойчиво. Физическая причина — отрицательная теплоёмкость (3.4): дыра, поглотившая энергию, тяжелеет и охлаждается, поэтому поглощает ещё больше; потерявшая энергию — нагревается и излучает ещё больше. Все чёрные дыры звёздных масс тяжелее \(m^{*}\) и потому растут, поглощая реликтовое излучение.

Рис. 5. Скорость изменения массы как функция \(m/m^{*}\): при \(m>m^{*}\) масса растёт, при \(m<m^{*}\) убывает; точка \(m=m^{*}\) — неустойчивое равновесие.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.