Если бросить камень в пруд, возникает круговая волна, которая со временем
расширяется. Следующий рисунок изображает распространение такой волны: разные
окружности соответствуют положению гребня волны в разные моменты времени; лежащие в
основе снимки сделаны через равные (но неизвестные) промежутки.
Заметим, что скорость волны зависит от длины волны, и здесь эффективная длина волны
растёт со временем: вначале длина волны порядка радиуса окружности, но позже она
стремится к значению порядка глубины воды \(h\). Оказывается, что вначале гребень волны
движется с ускорением \(a = g/\pi\), где \(g\) — ускорение свободного падения; позже
скорость стремится к значению \(v_\infty = \sqrt{hg}\). Исходя из этого, оцените глубину
пруда \(h\), считая её всюду постоянной; выразите ответ через масштаб длины \(L\),
приведённый на рисунке. Измерения можно снимать с рисунка линейкой.
▶Показать разборСкрыть разбор
Решение
\
Измеряя диаметры волновых фронтов, получаем приблизительно
\[\begin{aligned}
d_1 &= 0{,}09L, & d_2 &= 0{,}39L, & d_3 &= 0{,}90L, & d_4 &= 1{,}61L,\\
d_5 &= 2{,}52L, & d_6 &= 3{,}53L, & d_7 &= 4{,}54L. &&
\end{aligned}\]
Пусть время между последовательными снимками равно \(\Delta t\). Согласно условию гребень
волны сначала движется с ускорением \(a = \frac g\pi\). Это даёт
\[x = \frac{gt^2}{2\pi}\ \Longrightarrow\ t = \sqrt{\frac{2\pi x}g}.\]
Подставляя первые несколько значений \(d\), находим
\(\Delta t\approx\sqrt{\frac{0{,}1\pi L}g}\).
Также по условию гребень волны стремится к предельной скорости
\(v_\infty = \sqrt{hg}\). Это уравнение можно приблизить как
\[\frac{1{,}01L}{\Delta t} = \frac{1{,}01L}{\sqrt{\frac{0{,}1\pi L}g}}
= \sqrt{hg}.\]
Упрощая, получаем \(\boxed{h\approx3{,}2L}\).
