Экстремальная гонка

Изобразите движение болида графиком \(v(t)\): площадь под графиком — пройденный путь, а середина пути делит эту площадь пополам.

Графическое решение. Время движения болида \(t_0 = L/v_{\text{ср}}\), где \(L\) — длина участка. На графике \(v(t)\) возможные способы движения болида представляются прямыми с разными наклонами (ускорениями), причём площадь под графиком (длина пути) одинакова (рис. 12). Момент \(t'\), в который болид находится в середине пути, делит площадь под графиком пополам. При увеличении по модулю ускорения \(a\) значение \(t'\) сдвигается в сторону больших скоростей, и скорость в середине пути \(v\) увеличивается.

Наименьшая скорость \(v_{\min}\) достигается при \(a = 0\) и равна средней скорости \(v_{\text{ср}}\). Максимальная \(v_{\max}\) достигается при движении с максимальным ускорением и нулевой начальной (или конечной) скоростью. Конечная скорость при таком движении \(v_{\text{к}} = 2v_{\text{ср}}\). Длина участка \(L = \dfrac{v_{\text{к}}^2}{2a}\), половина пути \(\dfrac{L}{2} = \dfrac{v_{\max}^2}{2a}\). Отсюда \(v_{\max} = v_{\text{к}}/\sqrt2 = \sqrt2\,v_{\text{ср}}\).

Аналитическое решение. Пусть начальная скорость болида \(v_0\), ускорение \(a\). Тогда \(L = \dfrac{v_{\text{к}}^2 - v_0^2}{2a}\) (1) и \(\dfrac{L}{2} = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}\) (2). Из (1) и (2) скорость в середине трассы \[v^2 = \frac{v_{\text{к}}^2 + v_0^2}{2}.\] Средняя скорость при равноускоренном движении \(v_{\text{ср}} = \dfrac{v_0 + v_{\text{к}}}{2}\), поэтому \(v_{\text{к}} = 2v_{\text{ср}} - v_0\), и \[v^2 = (2v_{\text{ср}} - v_0)^2/2 + v_0^2/2 = 2v_{\text{ср}}^2 - 2v_0v_{\text{ср}} + v_0^2 = (v_{\text{ср}} - v_0)^2 + v_{\text{ср}}^2.\] Начальная и конечная скорости неотрицательны, поэтому \(0 < v_0 < 2v_{\text{ср}}\). Минимальная скорость \(v_{\min} = v_{\text{ср}}\) достигается при \(v_0 = v_{\text{ср}}\); максимальная \(v_{\max} = \sqrt2\,v_{\text{ср}}\) — при \(v_0 = 0\) или \(v_0 = 2v_{\text{ср}}\).