На балконе

Скорость изменения кинетической энергии равна мощности приложенных к шарику сил. Коэффициент сопротивления найдите по установившейся скорости \(v_2\), затем исследуйте мощность как функцию скорости.

Скорость изменения кинетической энергии тела — это мощность приложенных к нему сил. На шарик действуют сила тяжести и сила сопротивления \(\vec F_c = -\alpha\vec v\). Суммарная мощность, где \(v\) — проекция скорости на ось, направленную вертикально вниз: \[N = (m\vec g + \vec F_c)\cdot\vec v = mgv - \alpha v^2. \qquad (3)\] При установившемся движении со скоростью \(v_2\) ускорение равно нулю: \(0 = mg - \alpha v_2\), откуда \(\alpha = \dfrac{mg}{v_2}\). Выражение (3) можно привести к виду \[N = \frac{(mg)^2}{4\alpha} - \alpha\left(v - \frac{mg}{2\alpha}\right)^2,\] то есть график мощности — парабола с вершиной при \(v_1 = \dfrac{mg}{2\alpha} = \dfrac{v_2}{2}\) (рис. 13). В процессе движения \(v\) меняется от \(-v_0\) до \(v_2\).

Максимальная по модулю скорость изменения кинетической энергии достигается либо при \(v = v_1\), либо при \(v = -v_0\). В первом случае мощность \(N_1 = \dfrac{(mg)^2}{4\alpha}\), во втором \(N_2 = \dfrac{(mg)^2}{4\alpha} - \alpha\left(v_0 + \dfrac{mg}{2\alpha}\right)^2\). Сравнив \(|N_1|\) и \(|N_2|\), получим: при \(v_0 < v_{\text{к}} = (\sqrt2 - 1)\dfrac{mg}{2\alpha}\) выполнено \(|N_1| > |N_2|\) и \(v_{\max} = v_1\); при \(v_0 > v_{\text{к}}\) выполнено \(|N_2| > |N_1|\) и \(v_{\max} = v_0\); при \(v_0 = v_{\text{к}}\) верны оба ответа. С учётом \(mg/(2\alpha) = v_2/2\) получаем приведённые выше ответы.