Игровое поле

Сначала решите вспомогательную задачу: тело, которое разгоняется и тормозит с одним и тем же ускорением \(a\) и должно пройти путь \(L\) от нуля до нуля, быстрее всего идет, разгоняясь первую половину пути и тормозя вторую.

Вспомогательная задача: при разгоне и торможении с ускорением \(a\) на пути \(L\) минимальное время \(\tau = 2\sqrt{L/a}\) достигается, когда первую половину пути тело все время разгоняется, а вторую — все время тормозит (график скорости — треугольник с фиксированной площадью). По оси \(Ox\) шарик должен от правой стенки уйти к левой и вернуться, скорость по \(Ox\) у стенок равна нулю, поэтому \(\tau_x = 2\sqrt{l/a_1}\) — время движения от одной стенки до другой. По оси \(Oy\) время прохода расстояния \(l\) при непрерывном разгоне: \(\tau_{1y} = \sqrt{2l/a_2}\). Если \(\tau_{1y} \le \tau_x\), т.е. \(a_2/a_1 \ge 1/2\), то первый отсек проходится за \(T_1 = \tau_x\) (по \(Oy\) местами притормаживаем). Во втором отсеке аналогично \(T_2 = \tau_x\), и \(T = 2\tau_x = 4\sqrt{l/a_1}\). Если \(a_2/a_1 < 1/2\), то первый отсек за минимальное время проходится непрерывным разгоном по \(Oy\): \(T_1 = \tau_{1y}\). Для второго отсека при непрерывном разгоне по \(Oy\) на вторую половину пути нужно \(\tau'_y = \tau_{2y} - \tau_{1y} = \sqrt{l/a_2}\,(2-\sqrt{2})\), где \(\tau_{2y} = 2\sqrt{l/a_2}\). Если \(\tau'_y \le \tau_x\), т.е. \(a_2/a_1 \ge (3-2\sqrt{2})/2\), то \(T_2 = \tau_x\) и \(T = \sqrt{2l/a_2} + 2\sqrt{l/a_1}\). Если \(a_2/a_1 < (3-2\sqrt{2})/2\), то \(T_2 = \tau'_y\) и \(T = \tau_{2y} + \tau_{1y} - \tau_{1y}\), т.е. \(T = 2\sqrt{l/a_2}\).