Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Случайный резистор

  1. Случайный резистор

    Санкт-Петербургская 2012/13, 10 кл.
    6/10

    В изображенной на рисунке схеме все резисторы имеют сопротивление \(1\) Ом. Экспериментатор собирает «случайный резистор». Сначала он случайным образом равновероятно выбирает одну из трех вершин \(A\), \(B\) или \(C\). Далее, так же случайно, — одну из вершин \(D\), \(E\) или \(F\). Затем он подключает между выбранными вершинами резистор в \(1\) Ом. Наконец, с помощью идеальных проводов он подключает входной контакт \(G\) к первой выбранной вершине, а выходной \(H\) — ко второй. Экспериментатор собрал 1155 таких «случайных резисторов» и соединил их последовательно. Каково наиболее вероятное сопротивление получившейся цепи? Каждый «случайный резистор» собирается независимо от других.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Учтите симметрию: часть из девяти способов сборки переходит друг в друга отражением. Вычислите сопротивление каждого типа схемы.

    Ответ

    \(R \approx 641\) Ом.

    Решение

    Решение — из официального решения 9 класса, задача 3 (тот же текст). Всего девять различных способов собрать «случайный резистор»; с учетом отражения получаются четыре типа конструкций: одна конструкция типа 1, две типа 2, две типа 3 и четыре типа 4. Схемы типов 1 и 2 полностью эквивалентны, их сопротивления \(R_{1/2} = 3/5\) Ом, \(R_3 = 5/11\) Ом, \(R_4 = 4/7\) Ом. Вероятности типов \(1/9\), \(2/9\), \(2/9\), \(4/9\). Сопротивления последовательно соединенных \(1155\) резисторов складываются: \(R = 1155\left(\dfrac{3}{9}R_{1/2} + \dfrac{2}{9}R_3 + \dfrac{4}{9}R_4\right) = 641\) Ом.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх