Мензурка с поршнем

Запишите уравнение состояния и равновесие поршня: получится квадратное уравнение для расстояния \(x\). Подумайте, когда центр масс системы поднимается выше оси O и мензурка переворачивается.

Обозначим расстояние между дном мензурки и поршнем через \(x\). Уравнение состояния \(pSx = \nu RT\) (11). Равновесие поршня «дном вниз»: \(p_aS + mg + kx - pS = 0\) (12), откуда \(x_{down} = \dfrac{-(p_aS+mg) + \sqrt{(p_aS+mg)^2 + 4\nu RTk}}{2k}\) (13). Центр масс системы \(y^{down}_{\mathrm{cm}} = \dfrac{mx}{m+m_0} - a\) поднимается; мензурка переворачивается при \(y_{\mathrm{cm}} \ge 0\), т.е. \(x \ge a\dfrac{m+m_0}{m}\) (14). Критическая температура нагрева, при которой переворот происходит (по формулам (13) и (14)): \(T_{\mathrm{kr}} = \dfrac{a(m+m_0)}{\nu R m}\left(\dfrac{m+m_0}{m}\,ka + p_aS + mg\right)\) (18). Она всегда положительна, значит при нагревании мензурка рано или поздно перевернется. «Дном вверх» (кольцо лежит на поршне): \(mg + m_0g + pS - p_aS - kx = 0\) (15), \(x_{up} = \dfrac{-(p_aS-(m+m_0)g) + \sqrt{(p_aS-(m+m_0)g)^2 + 4\nu RTk}}{2k}\) (16). Здесь центр масс \(y_{\mathrm{cm}} = a - x\), положение «дном вверх» неустойчиво при \(x \le a\) (17). Обратный переворот при охлаждении происходит при критической температуре \(T^*_{\mathrm{kr}} = \dfrac{a}{\nu R}\left(ka + p_aS - (m+m_0)g\right)\) (19), которая имеет смысл при \(ka + p_aS - (m+m_0)g > 0\) (20). Для рассматриваемого случая \(T^*_{\mathrm{kr}} < T_{\mathrm{kr}}\). Ход процесса при \(T_{min} < T^*_{\mathrm{kr}} < T_{\mathrm{kr}} < T_{max}\): при нагревании до \(T_{\mathrm{kr}}\) расстояние меняется по закону (13), затем мензурка переворачивается и далее \(x = x_{up}(T)\) (16); при охлаждении — по (16) до \(T^*_{\mathrm{kr}}\), затем мензурка снова переворачивается, и далее \(x = x_{down}(T)\) (13) до \(T_{min}\). Возникает гистерезис: участок 1-2-3-5-6 при нагревании и 6-5-4-2-1 при охлаждении. Остальные соотношения температур дают схемы, аналогичные (рис. 7–10 официального решения).