Разгон поезда

Для равноускоренного движения средняя скорость на участке связана с мгновенными скоростями на его концах. Запишите это для обоих участков и исключите ускорение и длину опорного пролёта.

Пусть \(L\) — расстояние между соседними опорами, \(a\) — ускорение электрички, \(u_1\) — мгновенная скорость в момент прохождения первой опоры, \(t_1\) и \(t_2\) — времена прохождения участков 1–2 и 2–3. Средние скорости на участках: \(L = v_1 t_1 = v_2 t_2\). С другой стороны, при равноускоренном движении \[L = u_1 t_1 + \frac{a t_1^2}{2}, \qquad L = u\,t_2 + \frac{a t_2^2}{2}, \qquad u = u_1 + a t_1.\] Умножая первое уравнение на \(v_1/t_1\), второе на \(v_2/t_2\) и подставляя \(t_1\), \(t_2\) из равенств для средних скоростей, получаем \[v_1^2 = u v_1 - \frac{aL}{2}, \qquad v_2^2 = u v_2 + \frac{aL}{2}.\] Складывая, исключаем \(aL\) и находим \[u = \frac{v_1^2 + v_2^2}{v_1 + v_2} = 26~\text{км/ч}.\] Эту же величину можно получить графически: движение на участке 1–2 длится в полтора раза дольше, чем на участке 2–3 (например, \(6\tau\) и \(4\tau\)), а изменение мгновенной скорости от 20 до 30 км/ч происходит за время \(5\tau\). Тогда за время \(3\tau\) скорость изменяется на 6 км/ч, и искомая скорость \(u = 26\) км/ч.