Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Жара в холодильнике

  1. Жара в холодильнике

    ВсОШ 2014/15, 9 кл.
    6/10

    В жаркие летние дни, когда в комнате установилась температура \(t_0 = 30\,^\circ\text{C}\), экспериментатор Глюк обратил внимание на то, что время работы двигателя холодильника стало вдвое превышать время бездействия. Решив оптимизировать его работу, экспериментатор регулятором изменил температуру внутри холодильника на \(\Delta\theta = 9\,^\circ\text{C}\). В результате время бездействия стало вдвое больше времени работы. Определите:

    1. На какие температуры \(t_1\) и \(t_2\) был настроен регулятор в начале и в конце эксперимента?

    2. На какую внутреннюю температуру \(t_m\) надо выставить регулятор, чтобы двигатель холодильника начал работать без перерыва?

    3. При какой выставленной регулятором температуре \(t_3\) частота включения холодильника станет максимальной?

    Указание: Регулятор задаёт температуру внутри холодильника \(t\) в небольшом интервале \(t \pm \Delta t/2\). Когда температура внутри становится равной \(t + \Delta t/2\), двигатель холодильника включается, когда она снижается до \(t - \Delta t/2\) — выключается. Считайте, что: 1) мощность подводимого тепла пропорциональна разности температуры внутри холодильника и окружающей среды и постоянна во всём интервале внутренних температур \(t \pm \Delta t/2\); 2) тепловая мощность, отбираемая двигателем во время его работы у внутреннего объёма холодильника, не зависит от температур; 3) изменением температуры в комнате можно пренебречь.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выразите время бездействия и время работы через мощность притока тепла \(P = \alpha(t_0 - t)\) и мощность отвода \(P_0\). Вторую часть задачи решайте через условие максимума параболы.

    Ответ

    1) \(t_1 = 12\,^\circ\text{C}\), \(t_2 = 21\,^\circ\text{C}\);  2) \(t_m = 3\,^\circ\text{C}\);  3) \(t_3 = 16{,}5\,^\circ\text{C}\).

    Решение

    Пусть \(P = \alpha(t_0 - t)\) — мощность теплоты, поступающей из окружающей среды, \(P_0\) — мощность, отводимая работающим холодильником, \(C\) — теплоёмкость холодильника с содержимым. Время бездействия \(T = \dfrac{C\,\Delta t}{\alpha(t_0 - t)}\), время работы \(\tau = \dfrac{C\,\Delta t}{P_0 - \alpha(t_0 - t)}\).

    1. При первоначальной температуре \(t_1\) имеем \(\tau = 2T\), отсюда \(t_1 = t_0 - \dfrac{2P_0}{3\alpha}\). При температуре \(t_2\) имеем \(2\tau = T\), отсюда \(t_2 = t_0 - \dfrac{P_0}{3\alpha}\). Разность \(t_2 - t_1 = \theta = \dfrac{P_0}{3\alpha} = \Delta\theta = 9\,^\circ\text{C}\), поэтому \(t_1 = t_0 - 2\theta = 12\,^\circ\text{C}\), \(t_2 = t_0 - \theta = 21\,^\circ\text{C}\).

    2. Двигатель работает непрерывно, если отводимая им мощность не превышает притока тепла: \(P_0 \leqslant \alpha(t_0 - t)\), то есть \(t \leqslant t_0 - \dfrac{P_0}{\alpha} = t_0 - 3\theta = 3\,^\circ\text{C}\).

    3. Время между двумя последовательными включениями \(T + \tau = \dfrac{C\,\Delta t\,P_0}{\alpha(t_0 - t)\bigl(P_0 - \alpha(t_0 - t)\bigr)}\) минимально, когда максимальна величина \(y = \alpha x(P_0 - \alpha x)\), где \(x = t_0 - t\). Это парабола с вершиной при \(x = \dfrac{P_0}{2\alpha}\), поэтому \(t_3 = t_0 - \dfrac{P_0}{2\alpha} = t_0 - \tfrac{3}{2}\theta = 16{,}5\,^\circ\text{C}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх