Калда, кинематика: задача 60

Условие

Если бросить камень в пруд, возникает круговая волна, которая со временем расширяется. Следующий рисунок изображает распространение такой волны: разные окружности соответствуют положению гребня волны в разные моменты времени; лежащие в основе снимки сделаны через равные (но неизвестные) промежутки.

Заметим, что скорость волны зависит от длины волны, и здесь эффективная длина волны растёт со временем: вначале длина волны порядка радиуса окружности, но позже она стремится к значению порядка глубины воды \(h\). Оказывается, что вначале гребень волны движется с ускорением \(a = g/\pi\), где \(g\) — ускорение свободного падения; позже скорость стремится к значению \(v_\infty = \sqrt{hg}\). Исходя из этого, оцените глубину пруда \(h\), считая её всюду постоянной; выразите ответ через масштаб длины \(L\), приведённый на рисунке. Измерения можно снимать с рисунка линейкой.

▶РешениеСкрыть

Измеряя диаметры волновых фронтов, получаем приблизительно \[\begin{aligned} d_1 &= 0{,}09L, & d_2 &= 0{,}39L, & d_3 &= 0{,}90L, & d_4 &= 1{,}61L,\\ d_5 &= 2{,}52L, & d_6 &= 3{,}53L, & d_7 &= 4{,}54L. && \end{aligned}\] Пусть время между последовательными снимками равно \(\Delta t\). Согласно условию гребень волны сначала движется с ускорением \(a = \frac g\pi\). Это даёт \[x = \frac{gt^2}{2\pi}\ \Longrightarrow\ t = \sqrt{\frac{2\pi x}g}.\] Подставляя первые несколько значений \(d\), находим \(\Delta t\approx\sqrt{\frac{0{,}1\pi L}g}\).

Также по условию гребень волны стремится к предельной скорости \(v_\infty = \sqrt{hg}\). Это уравнение можно приблизить как \[\frac{1{,}01L}{\Delta t} = \frac{1{,}01L}{\sqrt{\frac{0{,}1\pi L}g}} = \sqrt{hg}.\] Упрощая, получаем \(\boxed{h\approx3{,}2L}\).

Следующая задача 61 →