Моторная лодка подходит к прямой береговой линии перпендикулярно и на расстоянии \(L\) начинает разворачиваться, описывая полуокружность радиуса \(R\); затем она уходит перпендикулярно берегу. Скорость лодки постоянна и равна \(v\), скорость волн на воде можно считать постоянной и равной \(u\) (причём \(u<v\)). Через какое время волны кильватерного следа за лодкой достигнут берега (отсчитывая от момента, когда лодка начала разворачиваться)?
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим следующий чертёж.
В момент \(t\) лодка описала угол \[\theta = \frac{vt}{\pi R}\cdot\pi = \frac{tv}R.\] Значит, в момент \(t\) лодка находится на расстоянии \(L-R\sin\bigl(\frac{vt}R\bigr)\) от берега. Поэтому в момент \(t_2\) волновой фронт, испущенный в момент \(t_1\), находится на расстоянии \(L-R\sin\bigl(\frac{vt_1}R\bigr)-u(t_2-t_1)\) от берега.
Мы хотим найти минимальное возможное \(t_2\), при котором уравнение \(L-R\sin\bigl(\frac{vt_1}R\bigr)-u(t_2-t_1) = 0\) имеет вещественное решение для \(t_1\). Для этого выразим \(t_2\): \[t_2 = \frac{L-R\sin\bigl(\frac{vt_1}R\bigr)}u+t_1.\] Взяв производную по \(t_1\) и приравняв её к нулю, получаем \(1-\frac{v\cos\bigl(\frac{vt_1}R\bigr)}u = 0\), т. е. \(t_1 = \frac Rv\arccos\bigl(\frac uv\bigr)\).
Поскольку \(u<v\), это допустимое решение, так что подставим \(t_1\) обратно в выражение для \(t_2\): \[t_2 = \frac{L-R\sin\bigl(\arccos\frac uv\bigr)}u +\frac Rv\arccos\Bigl(\frac uv\Bigr).\] Имеем \(\sin\bigl(\arccos\frac uv\bigr) = \frac{\sqrt{v^2-u^2}}v\). Следовательно, \[\boxed{t_2 = \frac Rv\arccos\Bigl(\frac uv\Bigr)+\frac Lu -R\sqrt{\frac1{u^2}-\frac1{v^2}}}.\]