Фотограф снял водопад. Из-за отражённого солнечного света капли были видны как блики. Из-за большой скорости падения капель блики создавали на фотографии яркие полоски. Когда камера была в обычном «ландшафтном» положении, длина полосок составляла \(l_1 = 120\) пикселей; когда камеру повернули вокруг оптической оси объектива на \(180^\circ\) в положение «вверх ногами», длина полосок составила \(l_2 = 200\) пикселей. Какой была длина полосок, когда камера была в «портретном» положении, т. е. повёрнута на \(90^\circ\)? Считайте, что выдержка во всех трёх случаях была одинакова. Если возможностей несколько, приведите все возможные ответы.
▶РешениеСкрыть
Длина полосок определяется промежутком времени, в течение которого изображение капли остаётся внутри щели между шторками. Он, в свою очередь, обратно пропорционален той компоненте относительной скорости изображения, которая перпендикулярна краю шторки.
В первом случае скорость шторок \(\vec v\) и скорость изображения капли \(\vec u\) параллельны, во втором — антипараллельны, а в третьем — перпендикулярны. В антипараллельном случае есть две возможности, так как мы не знаем, что быстрее — шторка или изображение.
Таким образом, время присутствия достаточного следа равно \(\frac d{|u\pm v|}\), а длина следа \(l = \frac{vd}{|u\pm v|}\). Пусть \(u\ge v\); тогда \[l_1 = \frac{vd}{u+v},\qquad l_2 = \frac{vd}{u-v}.\] Деля второе уравнение на первое, получаем \(\frac{u+v}{u-v} = \frac{l_2}{l_1} = \frac53\), откуда \(3u+3v = 5u-5v\Rightarrow u = 4v\).
Если камера в портретном положении, то достаточное изображение присутствует в щели в течение \(d/u\), так что длина следа равна \(l_3 = \frac{vd}u\) и \[\frac{l_3}{l_1} = 1+\frac vu = \frac54\ \Longrightarrow\ \boxed{l_3 = \tfrac54l_1 = 150\text{ пикселей}}.\] Если \(u<v\), меняется только второе уравнение, \(l_2 = \frac{vd}{v-u}\), так что \(3u+3v = 5v-5u\) и \(u = v/4\), откуда \[\boxed{l_3 = 5l_1 = 600\text{ пикселей}}.\]