В безветренный дождливый день стоящий человек промокает за \(t = 2\) мин; если он бежит со скоростью \(v_2 = 18\) км/ч, он промокает за \(t_2 = 0{,}5\) мин. Сколько времени ему потребуется, чтобы промокнуть, если он идёт со скоростью \(v_1 = 6\) км/ч? Считайте, что форму тела человека можно приблизить (а) вертикальной прямоугольной призмой; (б) сферой. Здесь «промокнуть» означает получить определённое количество воды.
▶РешениеСкрыть
(а) Рассмотрим прямоугольную призму длины \(l\), ширины \(w\) и высоты \(h\).
Предположим, что объём дождя, который человек получает за секунду, пропорционален \(Av_r\) с некоторым коэффициентом пропорциональности \(k\), где \(A\) — площадь поперечного сечения, на которое падает дождь, а \(v_r\) — скорость дождя. Пусть \(V\) — критический объём дождя, нужный, чтобы человек «промок».
Когда человек не движется, находим, что \(V = Akv_rt_1 = lwkv_rt_1\).
Когда человек движется со скоростью \(v_m\), в его системе отсчёта дождь падает на него под углом \(\theta = \arctg\bigl(\frac{v_m}{v_r}\bigr)\) к вертикали со скоростью \(\sqrt{v_r^2+v_m^2}\), как показано на следующем чертеже.
Итак, видим, что \[V = Ak\sqrt{v_r^2+v_m^2}\,t_2 = w(l\cos\theta+h\sin\theta)k\sqrt{v_r^2+v_m^2}\,t_2.\] Поскольку \(\cos\theta = \frac{v_r}{\sqrt{v_r^2+v_m^2}}\) и \(\sin\theta = \frac{v_m}{\sqrt{v_r^2+v_m^2}}\), выражение эквивалентно \(V = w(lv_r+hv_m)kt_2\). Теперь имеем \[lwkv_rt_1 = w(lv_r+hv_m)kt_2\ \Longrightarrow\ v_r = \frac{hv_mt_2}{l(t_1-t_2)}.\] Подставляя \(v_m = \frac{18}{3{,}6}\) м/с, \(t_1 = 120\) с, \(t_2 = 30\) с, получаем \(v_r = \frac{5h}{3l}\) м/с. Это даёт при \(v_m = 6\) км/ч \[\boxed{t = \frac{lv_rt_1}{lv_r+hv_m} = 60\text{ с}}.\]
(б) Рассмотрим шар радиуса \(R\). Предположим, как и раньше, что объём получаемого за секунду дождя пропорционален \(Av_r\) с коэффициентом \(k\), и пусть \(V\) — критический объём.
Когда человек не движется, \(V = Akv_rt_1 = \pi R^2kv_rt_1\).
Когда человек движется со скоростью \(v_m\), в его системе отсчёта дождь падает на него под углом \(\theta = \arctg\bigl(\frac{v_m}{v_r}\bigr)\) к вертикали со скоростью \(\sqrt{v_r^2+v_m^2}\), как показано на чертеже.
Итак, видим, что \(V = Ak\sqrt{v_r^2+v_m^2}\,t_2 = \pi R^2k\sqrt{v_r^2+v_m^2}\,t_2\), откуда \[\pi R^2kv_rt_1 = \pi R^2k\sqrt{v_r^2+v_m^2}\,t_2\ \Longrightarrow\ v_r = \frac{v_mt_2}{\sqrt{t_1^2-t_2^2}}.\] Отсюда для \(v_m = 6\) км/ч получаем \[\boxed{t = \sqrt{1{,}5}\text{ мин}\approx73\text{ с}}.\]