Масштабирование

Подсказка

a) Как меняется жёсткость половины пружины? b) Квантование момента импульса в модели Бора даёт \(r \propto 1/m\). c) Баланс поглощённого солнечного излучения и собственного теплового излучения Земли. d) При тех же \(p\) и \(T\) в одном объёме одно и то же число молекул. e) Тяга вертолёта — это поток импульса отбрасываемого вниз воздуха; найдите, как с размером меняются вес, площадь винта и скорость воздуха.

Решение

(a) Пусть исходная пружина имеет длину \(l\) и жёсткость \(k\). Частота \(f\) колебаний груза массой \(m\) на конце этой пружины равна \[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac km} .\] Жёсткость \(k\) означает, что для растяжения \(\Delta x\) требуется сила \(F\): \[k = \frac{F}{\Delta x} .\] Рассмотрим середину пружины при таком растяжении: она сместилась лишь на \(\Delta x/2\), испытывая ту же силу \(F\). Поэтому жёсткость половины пружины равна \[k' = \frac{F}{\Delta x/2} = 2k .\] Частота колебаний груза на половине пружины: \[f' = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt2 f .\]

(b) Способ 1: квантование момента импульса.

Длина волны де Бройля частицы \[\lambda = \frac hp .\] По принципу де Бройля (основное состояние) \[2\pi r = \lambda ,\] что даёт \[pr = mvr = \hbar .\] (Это можно сразу сформулировать как квантование момента импульса.)

В модели Бора можно рассмотреть центростремительную силу, обусловленную электростатическим притяжением: \[\frac{mv^2}{r} = \frac{ke^2}{r^2} , \qquad \therefore\ v = \sqrt{\frac{ke^2}{mr}} ,\] \[\sqrt{ke^2mr} = \hbar ; \quad\text{т.~е.}\quad r \propto \frac1m .\] Радиус атома мюонного водорода равен \[a_\mu = \frac{a_0}{207} = 0{,}256\text{ пм}.\]

Способ 2: анализ размерностей.

Радиус \(r\) атома водорода в основном состоянии зависит от следующих величин:

• Масса \(m\) обращающейся частицы. (Поскольку масса ядра считается много больше массы обращающейся частицы, ядро можно считать неподвижным, и потому радиус атома не зависит от массы ядра.)

• Электрическая сила между обращающейся частицей и ядром. Она зависит от заряда ядра \(q_n\), заряда обращающейся частицы \(q\) и постоянной \(\varepsilon_0\).

• \(\hbar\). Это связано с тем, что момент импульса квантуется, как показано выше.

Итак, \[r = A\hbar^\alpha m^\beta q_n^{\gamma_1} q^{\gamma_2} \varepsilon_0^\delta ,\] где \(A\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) и \(\delta\) — безразмерные постоянные. Уравнение размерностей: \[[D] = [M]^{\alpha+\beta-\delta}[D]^{2\alpha-3\delta}[Q]^{\gamma_1+\gamma_2+2\delta}[T]^{2\delta-\alpha} ,\] где \([D]\) — размерность длины, \([M]\) — массы, \([Q]\) — заряда, \([T]\) — времени.

Тогда, полагая \(\gamma = \gamma_1 + \gamma_2\): \[\begin{aligned} \alpha + \beta - \delta &= 0,\\ 2\alpha - 3\delta &= 1,\\ \gamma + 2\delta &= 0,\\ 2\delta - \alpha &= 0. \end{aligned}\] Решая, получаем \[\alpha = 2, \quad \beta = -1, \quad \gamma = -2, \quad \delta = 1 .\] Это означает, что радиус обратно пропорционален массе обращающейся частицы: \[r \propto \frac1m .\] Радиус атома мюонного водорода равен \[a_\mu = \frac{a_0}{207} = 0{,}256\text{ пм}.\]

(c) Если мощность излучения Солнца равна \(P\), а радиус орбиты Земли \(R\), то \(T\) находится приравниванием поступающего и уходящего излучения: \[(1 - r)\frac{P}{4\pi R^2}\cdot\pi R_E^2 = 4\pi R_E^2\,\varepsilon\sigma T^4 ,\] где \(r\) — отражательная способность Земли по отношению к солнечному излучению (альбедо), \(R_E\) — радиус Земли, \(\varepsilon\) — её излучательная способность, \(\sigma\) — постоянная Стефана. Мощность излучения Солнца \(P\), средний радиус орбиты Земли \(R\). Излучательная способность зависит от температуры (заранее неизвестно как), но изменение температуры ожидается малым.

Очевидно, \(T \propto \sqrt{\dfrac1R}\), поэтому уменьшение \(R\) на \(1\%\) даёт повышение \(T\) на \(0{,}5\%\), т. е. на \(1{,}4\text{ К}\): \[T' = 288{,}4\text{ К}.\]

(d) Уравнение идеального газа для \(N\) молекул: \(pV = NkT\). Два одинаковых объёма газа при одинаковых давлении и температуре содержат одинаковое число молекул; поэтому плотность каждого пропорциональна средней массе молекулы содержащегося в нём газа.

Индексами \(d\), \(m\) и \(w\) будем обозначать «сухой», «влажный» и «вода».

Для сухого воздуха со средней массой молекулы \(m_d\): \[\rho = \rho_d = m_d\frac{N_d}{V} = \frac{m_dp}{kT} .\] Для влажного воздуха со средней массой молекулы \(m_m\): \[\rho_m = m_m\frac{N_m}{V} = \frac{m_mp}{kT} .\] Для массы \(M\) сухого воздуха: \[N_d \propto \frac{M}{28{,}8} .\] Для массы \(M'\) влажного воздуха: \[N_m \propto 0{,}02\frac{M'}{18} + 0{,}98\frac{M'}{28{,}8} ,\] \[N_m = N_d ,\] \[\frac{\rho_m}{\rho_d} = \frac{M'}{M} = \frac{1}{28{,}8\left(\dfrac{0{,}02}{18} + \dfrac{0{,}98}{28{,}8}\right)} = 0{,}9881 ,\] \[\rho' = \rho_m = 0{,}9925\rho_d = 1{,}2352\text{ кг/м}^3 .\]

(e) Механическая мощность \(P\), необходимая для зависания вертолёта, равна силе тяги \(T\) лопастей винта, направленной вниз (равной его весу \(W\)), умноженной на среднюю скорость \(v\) движущегося вниз столба воздуха под лопастями: \[P = Tv .\] Лопасти сообщают скорость \(v\) воздуху, протекающему мимо них с массовым расходом \(dm/dt\), площадь, ометаемая лопастями, равна \(A\): \[T = v\frac{dm}{dt} ; \quad \frac{dm}{dt} = \rho Av ; \quad \therefore\ W = T = \rho Av^2 .\] Если размер вертолёта характеризуется линейным размером \(L\): \[W \propto L^3 ; \quad A \propto L^2 ,\] \[v \propto \sqrt{\frac WA} \propto \sqrt L , \quad \therefore\ P = Wv \propto L^{3{,}5} .\] Следовательно, мощность, необходимая вертолёту половинного масштаба, равна \(P' = 0{,}0884\,P\).