Задачи › Ядерные реакции, дефект масс

Массы ядер и их устойчивость

  1. Массы ядер и их устойчивость

    IPhO 1996/97, 11 кл.
    5/10

    Все энергии в этой задаче выражены в МэВ — миллионах электронвольт. \(1\text{ МэВ} = 1{,}6 \times 10^{-13}\text{ Дж}\), но для решения задачи знать это не нужно.

    Масса \(M\) атомного ядра с \(Z\) протонами и \(N\) нейтронами (т. е. с массовым числом \(A = N + Z\)) равна сумме масс составляющих его свободных нуклонов (протонов и нейтронов) минус энергия связи \(B/c^2\): \[Mc^2 = Zm_pc^2 + Nm_nc^2 - B .\] На графике ниже показано максимальное значение \(B/A\) при данном \(A\) в зависимости от \(A\). Вообще говоря, чем больше значение \(B/A\), тем устойчивее ядро.

    Рисунок

    На рисунке: Binding Energy per Nucleon — энергия связи на нуклон; B/A (MeV) — \(B/A\) (МэВ).

    (a) Выше некоторого массового числа \(A_\alpha\) энергии связи ядер всегда достаточно малы, чтобы было возможно испускание альфа-частиц (\(A = 4\)). Используя линейную аппроксимацию этой кривой выше \(A = 100\), оцените \(A_\alpha\). (3 балла)

    Для этой модели примите следующее:

    • И начальное, и конечное ядра представлены на этой кривой.

    • Полная энергия связи альфа-частицы равна \(B_4 = 25{,}0\text{ МэВ}\) (её нельзя найти по графику!).

    (b) Энергия связи атомного ядра с \(Z\) протонами и \(N\) нейтронами (\(A = N + Z\)) даётся полуэмпирической формулой \[B = a_vA - a_sA^{2/3} - a_cZ^2A^{-1/3} - a_a\frac{(N - Z)^2}{A} - \delta .\] Значение \(\delta\) равно:

    \(+a_pA^{-3/4}\) для нечётно-нечётных ядер (нечётное \(N\) / нечётное \(Z\));

    \(0\) для ядер с чётным \(N\) / нечётным \(Z\) или нечётным \(N\) / чётным \(Z\);

    \(-a_pA^{-3/4}\) для чётно-чётных ядер (чётное \(N\) / чётное \(Z\)).

    Значения коэффициентов:

    \(a_v = 15{,}8\text{ МэВ}\); \(a_s = 16{,}8\text{ МэВ}\); \(a_c = 0{,}72\text{ МэВ}\); \(a_a = 23{,}5\text{ МэВ}\); \(a_p = 33{,}5\text{ МэВ}\).

    (i) Получите выражение для зарядового числа \(Z_{\max}\) ядра с наибольшей энергией связи при данном массовом числе \(A\). Только в этой части пренебрегите \(\delta\)-членом. (2 балла)

    (ii) Каково значение \(Z\) для ядра с \(A = 200\) с наибольшим \(B/A\)? Учтите влияние \(\delta\)-члена. (2 балла)

    (iii) Рассмотрите три ядра с \(A = 128\), перечисленные в таблице на листе ответов. Определите, какие из них энергетически устойчивы, а у каких достаточно энергии для распада путём перечисленных ниже процессов. Определите \(Z_{\max}\), как в части (i), и заполните таблицу на листе ответов.

    Заполняя таблицу, пожалуйста:

    • процессы, которые энергетически разрешены, отмечайте так: \(\surd\);

    • процессы, которые энергетически НЕ разрешены, отмечайте так: \(0\);

    • рассматривайте только переходы между этими тремя ядрами.

    Процессы распада:

    (1) \(\beta^-\)-распад; испускание ядром электрона;

    (2) \(\beta^+\)-распад; испускание ядром позитрона;

    (3) \(\beta^-\beta^-\)-распад; одновременное испускание ядром двух электронов;

    (4) электронный захват; захват ядром атомного электрона.

    Энергия покоя электрона (и позитрона) \(m_ec^2 = 0{,}51\text{ МэВ}\); протона \(m_pc^2 = 938{,}27\text{ МэВ}\); нейтрона \(m_nc^2 = 939{,}57\text{ МэВ}\).

    (3 балла)

    Таблица листа ответов:

    Ядро / процесс\(\beta^-\)-распад\(\beta^+\)-распадЭлектронный захват\(\beta^-\beta^-\)-распад
    \({}^{128}_{53}\mathrm{I}\)
    \({}^{128}_{54}\mathrm{Xe}\)
    \({}^{128}_{55}\mathrm{Cs}\)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    a) Альфа-распад выгоден, если энергия связи после распада (ядро \(A-4\) плюс альфа-частица) больше, чем до него; подставьте линейную зависимость \(B/A\) от \(A\). b) При фиксированном \(A\) ищите максимум \(B\) по \(Z\); для распадов сравнивайте массы ядер с учётом масс электронов, протонов и нейтронов.

    Ответ

    (a) \(A_\alpha \approx 211\);  (b) (i) \(Z_{\max} = \dfrac{4a_a}{2a_cA^{-1/3} + 8a_a/A} = \dfrac A2\,\dfrac{1}{1 + \dfrac{a_cA^{2/3}}{4a_a}}\); (ii) \(Z = 80\) (без \(\delta\)-члена \(Z_{\max} = 79{,}25\)); (iii) \({}^{128}_{53}\mathrm{I}\): \(\beta^-\) — \(\surd\), \(\beta^+\) — 0, электронный захват — 0, \(\beta^-\beta^-\) — \(\surd\); \({}^{128}_{54}\mathrm{Xe}\): все 0 (устойчиво); \({}^{128}_{55}\mathrm{Cs}\): \(\beta^-\) — 0, \(\beta^+\) — \(\surd\), электронный захват — \(\surd\), \(\beta^-\beta^-\) — 0.

    Решение

    (a) Альфа-распад происходит так: \[A \to (A-4) + \alpha\ (A=4) .\] Поэтому энергетический критерий распада: \[m_A - m_{A-4} - m_4 > 0 .\] Число и вид нуклонов при распаде сохраняются, поэтому достаточно рассмотреть энергии связи: \[-B_A + B_{A-4} + B_4 > 0 .\] Если записать \(B/A = a + bA\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, находимые по графику, это неравенство принимает вид \[-A(a + bA) + (A - 4)(a + b(A - 4)) + B_4 > 0 ,\] \[-8bA - 4a + 16b + B_4 > 0 .\] Из графика хорошая линейная аппроксимация \(B/A\) выше \(A = 100\): \[B/A = (9{,}6 - 0{,}0080 \times A)\text{ МэВ},\] т. е. \(a = 9{,}6\text{ МэВ}\) и \(b = 0{,}0080\text{ МэВ}\), и условие принимает вид \[-0{,}064A - 38{,}4 - 0{,}1 + 25{,}0 > 0 ,\] \[A > 13{,}5/0{,}064 = 211 .\]

    (b) (i) Поскольку \(A\) фиксировано, достаточно рассмотреть два предпоследних слагаемых, зависящих от \(Z\): \[\frac{dB}{dZ} = -2Za_cA^{-1/3} - \frac{a_a}{A}(-4A + 8Z) ,\] \[Z_{\max} = \frac{4a_a}{2a_cA^{-1/3} + 8a_a/A} = \frac A2\,\frac{1}{\left(1 + \dfrac{a_cA^{2/3}}{4a_a}\right)} .\]

    (ii) \(Z_{\max} = 79{,}25\).

    Полное выражение для дифференциального уравнения из (a) имеет вид \[\frac{dB}{dZ} = -2Za_cA^{-1/3} - \frac{a_a}{A}(-4A + 8Z) \pm 2a_pA^{-3/4} .\] Последнее слагаемое положительно, если изменение \(Z\) на \(+1\) превращает чётно-чётное ядро в нечётно-нечётное, и отрицательно в обратном случае. Заметим, что \(A\) в данном случае положительно.

    Как быть с последним слагаемым?

    Число \(Z_{\max}\) должно быть целым, а чётные числа предпочтительнее нечётных, поэтому можно предположить \(Z_{\max} = 80\). Для проверки вычислим сумму трёх последних слагаемых при различных \(Z\):

    \(Z\)сумма трёх последних слагаемых
    77\(979{,}241\)
    78\(975{,}915\)
    79\(976{,}295\)
    80\(975{,}341\)
    81\(978{,}093\)
    82\(979{,}512\)
    83\(984{,}637\)
    Это подтверждает, что \(Z_{\max} = 80\); это чётно-чётное ядро.

    (iii) Рассмотрим только три последних слагаемых в уравнении; остальные постоянны, если \(A\) постоянно. Обозначим сумму этих величин \(X\). Чтобы выяснить, устойчивы ли ядра, нужно найти разности \(X\) между соседними ядрами и сравнить эти разности с энергетическими требованиями каждого возможного процесса распада.

    (i) \(\beta^-\)-распад; \(n \to p + e^-\), нужно \(\Delta X > -1{,}30 + 0{,}51 = -0{,}79\text{ МэВ}\);

    (ii) \(\beta^+\)-распад; \(p \to n + e^+\), нужно \(\Delta X > 1{,}30 + 0{,}51 = 1{,}81\text{ МэВ}\);

    (iii) \(\beta^-\beta^-\)-распад; \(2n \to 2p + 2e^-\), нужно \(\Delta X > 2(-1{,}30 + 0{,}51) = -1{,}58\text{ МэВ}\);

    (iv) электронный захват; \(e^- + p \to n\), нужно \(\Delta X > 1{,}30 - 0{,}51 = 0{,}79\text{ МэВ}\).

    Рисунок

    На рисунке: Nuclear Masses for A=128 — массы ядер при \(A = 128\); Sum of last 3 terms (MeV) — сумма трёх последних слагаемых (МэВ); Beta- — \(\beta^-\); Double Beta- — \(\beta^-\beta^-\); Beta+ & EC — \(\beta^+\) и электронный захват.

    \(\uparrow\) Для сведения: от участников график не требуется.

    Ядро / процесс\(X\) (МэВ)
    \({}^{128}_{51}\mathrm{Sb}\)\(496{,}59\)
    \({}^{128}_{52}\mathrm{Te}\)\(491{,}19\)
    \({}^{128}_{53}\mathrm{I}\)\(491{,}06\)
    \({}^{128}_{54}\mathrm{Xe}\)\(489{,}16\)
    \({}^{128}_{55}\mathrm{Cs}\)\(492{,}54\)
    \(\uparrow\) Для сведения: от участников таблица не требуется.
    Ядро / процесс\(\beta^-\)-распад\(\beta^+\)-распадЭлектронный захват\(\beta^-\beta^-\)-распад
    \({}^{128}_{53}\mathrm{I}\)\(\surd\)\(0\)\(0\)\(\surd\)
    \({}^{128}_{54}\mathrm{Xe}\)\(0\)\(0\)\(0\)\(0\)
    \({}^{128}_{55}\mathrm{Cs}\)\(0\)\(\surd\)\(\surd\)\(0\)
    Эту таблицу заполняют участники.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх