Конструирование ядерного реактора

В природном уране, в соединении \(\mathrm{UO_2}\) только \(0.720\, \%\) процента атомов урана являются атомами изотопа \(^{235}\mathrm U\). Если ядро \(^{235}\mathrm U\) поглощает нейтрон, то оно практически мгновенно делится, испуская при этом 2-3 нейтрона, имеющих большую кинетическую энергию. Вероятность деления будет возрастать, если нейтрон, вызывающий реакцию деления, обладает малой кинетической энергией. Таким образом, уменьшение кинетической энергии нейтронов, появившихся в результате деления, может привести к возникновению цепной ядерной реакции. Эта идея является основой работы ядерных реакторов (ЯР). Типичный ЯР представляет собой цилиндрический сосуд высоты \(H\) и радиуса \(R\), заполненный веществом, которое называется замедлителем. Цилиндрические трубы, называемые топливными каналами, каждый из которых состоит из набора цилиндрических топливных стержней природного \(\mathrm{UO_2}\) высотой \(H\), расположены параллельно оси цилиндра в вершинах квадратной сетки. Нейтроны, возникшие в процессе деления, выходят из топливного канала, сталкиваются с замедлителем, теряют энергию и попадают в другие топливные каналы уже с низкой энергией, и приводят к делению других ядер (рис. 1–3). Теплота, выделившаяся в результате деления в топливных стержнях, переносится охлаждающей жидкостью, текущей вдоль стержней. В данной задаче вам необходимо изучить некоторые физические явления, проходящие в топливных стержнях (часть A), замедлителе (часть B), и ЯР цилиндрической формы (часть C).

Рис. 1. Увеличенное изображение топливного канала (1 – топливные стержни)

Рис. 2. Изображение ЯР (2 – топливные каналы)

Схема ядерного реактора (ЯР). Показаны только те элементы реактора, которые имеют отношение к данной задаче (например, не показаны управляющие стержни, охладитель)

Часть А. Топливный стержень (4 балла)

Данные для \(\mathrm{UO_2}\)

• Молярная масса \(M_\mathrm w = 0.270~кг\cdot моль^{-1}\)

• Плотность \(\rho = 1.060 \cdot 10^4~кг\cdot м^{-3}\)

• Температура плавления \(T_\mathrm m = 3.138 \cdot 10^3~K\)

• Теплопроводность \(\lambda = 3.280~Вт\cdot м^{-1}\cdot К^{-1}\)

A1. Рассмотрим следующую реакцию деления – неподвижное ядро \(^{235}\mathrm{U}\) после поглощения нейтрона с пренебрежимо малой кинетической энергией распадается по схеме

\[^{235}\mathrm{U} + {}^{1}\mathrm{n} \to {}^{94}\mathrm{Zr} + {}^{140}\mathrm{Ce} + 2{}^{1}\mathrm{n} + \Delta E.\]Оцените полную энергию \(\Delta E\) (в МэВ), выделяющуюся в реакции. Массы частиц равны:\(m({}^{235}\mathrm{U}) = 235.044~а.е.м.\), \(m({}^{94}\mathrm{Zr}) = 93.9063~а.е.м.\), \(m({}^{140}\mathrm{Ce}) = 139.905~МэВ\), \(m({}^{1}\mathrm{n}) = 1.00867~а.е.м.\), где \(1~а.е.м. = 931.502~МэВ\). Не обращайте внимания на неcохранение электрического заряда в этом уравнении.

A2. Оцените \(N\) – число атомов \({}^{235}\mathrm{U}\) в единице объема природного \(\mathrm{UO_2}\).

A3. Предположим, что поток нейтронов в ядерном топливе является однородным и равным \(\varphi = 2.000 \cdot 10^{18}~м^{-2}\cdot с^{-1}\). Сечение реакции деления (эффективная площадь ядра-мишени) ядра \({}^{235}\mathrm{U}\) равно \(\sigma_f = 5.400 \cdot 10^{-26}~м^2\). Считая, что \(80.00\,\%\) энергии выделяющейся при делении превращается в тепловую, найдите тепловую мощность, выделяющуюся в единице объема ядерного топлива – \(Q\) (в \(Вт\cdot м^{-3}\)). \(1~ Мэв = 1.602 \cdot 10^{-13}~Дж\).

A4. Установившаяся разность температур между центром \((T_c)\) и поверхностью \((T_s)\) топливного стержня может описана формулой \(T_c - T_s = kF(Q,a,\lambda)\), где \(k = 1/4\) – безразмерная постоянная, \(a\) – радиус стержня, \(\lambda\) – теплопроводность \(\mathrm{UO_2}\). Используя метод размерностей, получите выражение для функции \(F(Q,a,\lambda)\).

A5. Максимально допустимая температура охладителя равна \(5.770 \cdot 10^2~К\). Рассчитайте максимально возможный радиус \(a_u\) топливного стержня.

Часть B. Замедлитель (3.5 балла)

Рассмотрим абсолютно упругое столкновение на плоскости двух частиц: нейтрона массой \(1~а.е.м.\) с частицей замедлителя массы \(A~а.е.м.\). Считайте, что в лабораторной системе отсчета (ЛСО) все частицы замедлителя перед столкновениями находятся в состоянии покоя. Пусть \(\vec{v}_m\) и \(\vec{v}_a\) – скорости нейтрона в ЛСО до и после столкновения соответственно. Обозначим \(\vec{v}_m\) скорость центра масс системы в ЛСО, а \(\theta\) угол отклонения нейтрона в системе отсчета, связанной с центром масс (СОЦМ). Все сталкивающиеся частицы – нерелятивистские.

B1. На рис. 4 показан схематически процесс столкновения в ЛСО, где \(\theta_L\) угол отклонения нейтрона. Нарисуйте схематически процесс столкновения в СОЦМ. На этом рисунке укажите угол рассеяния \(\theta\), а также скорости частиц для положений 1, 2 и 3 в СОЦМ, которые должны быть выражены через \(\vec{v}_b, \vec{v}_a~и~\vec{v}_m\).

Процесс столкновения в ЛСО 1 — Нейтрон до столкновения 2 — Нейтрон после столкновения 3 — Частица замедлителя до столкновения 4 — Частица замедлителя после столкновения

B2. В СОЦМ определите скорости нейтрона \(v\) и частицы замедлителя \(V\) после столкновения, выразив их через \(A\) и \(v_b\).

B3. Получите выражение для зависимости \(G(a, \theta) = E_a/E_b\), где \(E_b\) и \(E_a\) — кинетические энергии нейтрона в ЛСО до и после столкновения соответственно, а \(a\equiv [(A - 1)/(A+1)]^2\).

B4. Предположим, что вышеуказанное выражение справедливо для молекулы \(\mathrm{D_2O}\). Вычислите максимально возможную долю потери энергии \(f_l \equiv \dfrac {E_b-E_a}{E_b}\) нейтрона в замедлителе \(\mathrm{D_2O}\) \((20~а.е.м.)\).

Часть C. Ядерный реактор (2.5 балла)

Для работы ядерного реактора при любом постоянном потоке нейтронов \(\psi\) (в стабильном режиме), количество нейтронов покидающих реактор должно быть скомпенсировано числом нейтронов вырабатываемых в ядерном процессе. Для реактора цилиндрической формы, количество покидающих нейтронов в единицу времени равно \(k_1[(2.405/R)^2 + (\pi /H)^2]\psi\), в то время как количество нейтронов, образуемых в ядерных реакциях в единицу времени, равно \(k_2\psi\). Константы \(k_1\) и \(k_2\) зависят от свойств материалов, из которого сделан ядерный реактор.

C1. Рассмотрите ядерный реактор, для которого \(k_1=1.021\cdot 10^{-2}~м\) и \(k_2=8.787 \cdot 10^{-3}~м^{-1}\). Заметим, что для эффективного использования топлива, количество улетающих нейтронов при работе в стационарном режиме должно быть минимально. Рассчитайте размеры ядерного реактора (высоту и радиус), при фиксированном его объеме, удовлетворяющие указанному условию.

C2. Топливные каналы расположены в узлах квадратной сетки, как показано на рис. 3. Расстояния между ближайшими каналами равно \(0.286~м\), а радиус топливного канала \(3.617 \cdot 10^{-2}~м\). Оцените количество топливных каналов \(F_\mathrm{n}\) в ядерном реакторе и массу \(M\) природного урана \(\mathrm{UO_2}\), необходимого для работы ядерного реактора в стационарном режиме.