Массовое число по объёму ядра
4/10Объём атомного ядра равен объёму куба со стороной \(5{,}05\) фм. Чему равно массовое число для данного атома химического элемента? Что это за элемент? Константа \(r_0 = 1{,}3\cdot10^{-15}\) м. Ответ округлить до целых.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаРадиус ядра связан с массовым числом формулой \(R = r_0 A^{1/3}\). Выразите объём ядра через \(A\) и приравняйте к объёму куба.
Ответ\(A = 14\); это атом азота.
РешениеВ первом приближении ядро — шар радиуса \(R = r_0 A^{1/3}\), его объём \(V_я = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi r_0^3 A\). Приравняв его к объёму куба \(a^3\), получаем \[A = \frac{3a^3}{4\pi r_0^3} = \frac{3\cdot(5{,}05\cdot10^{-15})^3}{4\pi\cdot(1{,}3\cdot10^{-15})^3} \approx 14.\]
Нейтронные звёзды
9/10Мы обсуждаем устойчивость больших ядер и оцениваем массу нейтронных звёзд теоретически и экспериментально.
Часть A. Масса и устойчивость ядер (\(2{,}5\) балла). Энергия покоя ядра \(m(Z,N)c^2\), состоящего из \(Z\) протонов и \(N\) нейтронов, меньше суммы энергий покоя протонов и нейтронов (далее — нуклонов) на энергию связи \(B(Z,N)\), где \(c\) — скорость света в вакууме. Пренебрегая малыми поправками, энергию связи можно приближённо записать как сумму объёмного члена с \(a_V\), поверхностного члена с \(a_S\), кулоновского члена с \(a_C\) и члена симметрии с \(a_{\text{sym}}\): \[m(Z,N)c^2=Am_Nc^2-B(Z,N),\] \[B(Z,N)=a_VA-a_SA^{2/3}-a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}-a_{\text{sym}}\frac{(N-Z)^2}{A}, \qquad (1)\] где \(A=Z+N\) — массовое число, \(m_N\) — масса нуклона. В расчётах используйте \(a_V\approx15{,}8\) МэВ, \(a_S\approx17{,}8\) МэВ, \(a_C\approx0{,}711\) МэВ и \(a_{\text{sym}}\approx23{,}7\) МэВ (МэВ = \(10^6\) эВ).
(A.1) При условии \(Z=N\) определите \(A\), при котором энергия связи на нуклон \(B/A\) максимальна. (\(0{,}9\) балла)
(A.2) При фиксированном \(A\) атомный номер наиболее стабильного ядра \(Z^*\) определяется максимизацией \(B(Z,A-Z)\). Для \(A=197\) вычислите \(Z^*\) по формуле (1). (\(0{,}9\) балла)
(A.3) Ядро с большим \(A\) распадается на более лёгкие ядра делением, чтобы минимизировать полную энергию покоя. Для простоты рассмотрим один из возможных способов разделения ядра с \((Z,N)\) на два одинаковых ядра, который происходит, когда выполняется соотношение \[m(Z,N)c^2>2\,m(Z/2,N/2)c^2.\] Записав это соотношение в виде \[Z^2/A>C_{\text{fission}}\,\frac{a_S}{a_C},\] найдите \(C_{\text{fission}}\) с точностью до двух значащих цифр. (\(0{,}7\) балла)
Часть B. Нейтронная звезда как гигантское ядро (\(1{,}5\) балла). Для больших ядер с достаточно большим массовым числом \(A>A_c\), при некотором пороге \(A_c\), такие ядра остаются устойчивыми к делению благодаря достаточно большой энергии связи, обусловленной гравитацией.
(B.1) Предположим, что \(N=A\) и \(Z=0\) реализуются при достаточно большом \(A\), и формула (1) продолжает выполняться с добавлением гравитационной энергии связи. Гравитационная энергия связи \[B_{\text{grav}}=\frac35\,\frac{GM^2}{R},\] где \(M=m_NA\) и \(R=R_0A^{1/3}\), \(R_0\simeq1{,}1\times10^{-15}\) м \(=1{,}1\) фм — масса и радиус ядра соответственно. Для \(B_{\text{grav}}=a_{\text{grav}}A^{5/3}\) найдите \(a_{\text{grav}}\) в МэВ с точностью до первой значащей цифры. Затем, пренебрегая поверхностным членом, оцените \(A_c\) с точностью до первой значащей цифры. В расчётах используйте \(m_Nc^2\simeq939\) МэВ и \(G=\hbar c/M_P^2\), где \(M_Pc^2\simeq1{,}22\times10^{22}\) МэВ и \(\hbar c\simeq197\) МэВ\(\cdot\)фм. (\(1{,}5\) балла)
Часть C. Нейтронная звезда в двойной системе (\(6{,}0\) балла). Некоторые нейтронные звёзды являются пульсарами: они регулярно излучают электромагнитные волны (для простоты здесь называемые «светом») с постоянным периодом. Нейтронные звёзды часто образуют двойные системы с белым карликом. Рассмотрим конфигурацию звёзд, показанную на рис. 1, где световой импульс от нейтронной звезды N до Земли E проходит вблизи белого карлика W двойной системы. Измерение этих импульсов, искажённых гравитационным полем звезды, позволяет точно оценить массу W, как объяснено ниже, и тем самым оценить массу N.
Рис. 1: Конфигурации с осью \(x\) вдоль линии, соединяющей N и E. (a) при \(x_N<0\), (b) при \(x_N>0\).
(C.1) Как показано на рисунке ниже, в однородном гравитационном ускорении \(g\) размещаем два уровня I и II с разностью высот \(\Delta h\,(>0)\). Устанавливаем одинаковые часы на уровнях I и II и на свободно падающей системе \(F\); часы обозначим соответственно часы-I, часы-II и часы-\(F\).
Схема мысленного эксперимента.
Допустим, что наблюдатель находится вместе с часами-\(F\), и изначально \(F\) находится на той же высоте, что и часы-I, а её скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, они отсчитывают одинаковые интервалы времени: \(\Delta\tau_F=\Delta\tau_I\). Затем отпустим \(F\) свободно падать и будем работать в системе отсчёта \(F\), которую считаем инерциальной. В этой системе часы-II проходят мимо часов-\(F\) со скоростью \(v\), поэтому замедление времени для часов-II определяется преобразованием Лоренца. Когда на часах-\(F\) проходит время \(\Delta\tau_I\), на часах-II проходит время \(\Delta\tau_{II}\). Определите \(\Delta\tau_{II}\) через \(\Delta\tau_I\) с точностью до первого порядка по \(\Delta\phi/c^2\), где \(\Delta\phi=g\Delta h\) — разность гравитационного потенциала, т.е. потенциальной энергии на единицу массы. (\(1{,}0\) балл)
(C.2) Под действием гравитационного потенциала \(\phi\) задержки времени изменяют эффективную скорость света \(c_{\text{eff}}\), наблюдаемую на бесконечности, хотя локальная скорость света равна \(c\). При \(\phi(r=\infty)=0\) \(c_{\text{eff}}\) с точностью до первого порядка по \(\phi/c^2\) равна \[c_{\text{eff}}\approx\left(1+\frac{2\phi}{c^2}\right)c,\] включая эффект искривления пространства, который не учитывался в C.1. Заметим, что путь света можно приближённо считать прямой линией. Как показано на рис. 1(a), направим ось \(x\) вдоль светового пути от нейтронной звезды N к Земле E и поместим \(x=0\) в точке, где белый карлик W ближе всего к световому пути. Пусть \(x_N(<0)\) — координата \(x\) звезды N, \(x_E(>0)\) — координата E, а \(d\) — расстояние между W и световым путём. Оцените изменение времени прихода \(\Delta t\) света от N до E, вызванное белым карликом массой \(M_{\text{WD}}\), и выразите ответ в простом виде, пренебрегая членами высшего порядка малости величин: \(d/|x_N|\ll1\), \(d/x_E\ll1\) и \(GM_{\text{WD}}/(c^2d)\ll1\). При необходимости используйте формулу \[\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}}=\frac12\log\!\left(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\right)+C\] (log — натуральный логарифм). (\(1{,}8\) балла)
(C.3) Как показано ниже, в двойной звёздной системе N и W движутся по круговым орбитам с нулевым эксцентриситетом вокруг центра масс \(G\) в плоскости орбиты. Пусть \(\varepsilon\) — угол наклона орбиты, отсчитываемый от плоскости орбиты до направления от \(G\) к E, \(L\) — расстояние между N и W, а \(M_{\text{WD}}\) — масса белого карлика. Далее считаем \(\varepsilon\ll1\).
Двойная звёздная система.
Мы наблюдаем световые импульсы от N на E, далёкой от N. Путь света до E меняется со временем в зависимости от конфигурации N и W. Задержка между приходом импульсов на E имеет максимальное значение \(\Delta t_{\max}\) при \(x_N\simeq-L\) и минимальное значение \(\Delta t_{\min}\) при \(x_N\simeq L\) (конфигурация см. на рис. 1(b)). Вычислите \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\) в простом виде, пренебрегая членами высшего порядка малости, как в C.2. Заметим, что задержки из-за гравитации от звёздных объектов, отличных от W, предполагаются взаимно сокращающимися в \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\). (\(1{,}8\) балла)
(C.4) На рисунке ниже показаны наблюдаемые задержки времени как функция орбитальной фазы \(\varphi\) для двойной звёздной системы с \(L\approx6\times10^6\) км и \(\cos\varepsilon\approx0{,}99989\). Оцените \(M_{\text{WD}}\) в единицах массы Солнца \(M_\odot\) и приведите результат для \(M_{\text{WD}}/M_\odot\) с точностью до первой значащей цифры. Здесь можно использовать приближённое соотношение \(GM_\odot/c^3\approx5\) мкс.
Наблюдаемые задержки \(\Delta t\) как функция орбитальной фазы \(\varphi\) (см. рисунок в C.3), позволяющие определить положения N и W на орбитах. (\(0{,}8\) балла)
(C.5) В двойной системе нейтронных звёзд две звезды теряют энергию и угловой момент, излучая гравитационные волны, и в конце концов сталкиваются и сливаются. Для простоты рассмотрим только круговое движение с радиусом \(R\) и угловой скоростью \(\omega\); тогда \(\omega=\chi R^{p}\), где константа \(\chi\) не зависит ни от \(\omega\), ни от \(R\), если пренебречь релятивистскими эффектами. Определите значение \(p\). (\(0{,}4\) балла)
(C.6) Амплитуда излучаемой гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна \(R^2\omega^2\). На рисунке ниже качественно показаны четыре различных временных профиля наблюдаемых гравитационных волн перед слиянием двух звёзд. Выберите наиболее подходящий профиль из (a)–(d). (\(0{,}2\) балла)
Наблюдаемые профили гравитационных волн.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаКлючевая идея: в части C задержка света вблизи массивного тела выражается через логарифм, а разность задержек для двух конфигураций сокращает неизвестные координаты; в части B сравните гравитационную энергию связи с объёмным членом.
ОтветA.1) \(A=50\); A.2) \(Z^*=79\); A.3) \(C_{\text{fission}}=7{,}0\cdot10^{-1}\); B.1) \(a_{\text{grav}}\approx6\cdot10^{-37}\) МэВ, \(A_c\approx4\cdot10^{55}\); C.1) \(\Delta\tau_{II}=\left(1-\dfrac{\Delta\phi}{c^2}\right)\Delta\tau_I\); C.2) \(\Delta t=\dfrac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\dfrac{4|x_N|x_E}{d^2}\); C.3) \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}=\dfrac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\dfrac{4}{\varepsilon^2}\); C.4) \(M_{\text{WD}}/M_\odot=0{,}5\); C.5) \(p=-\dfrac32\); C.6) профиль (b).
РешениеЧасть A. Формула энергии связи, приведённая в условии, известна как формула Вайцзеккера–Бете; физическая интерпретация объёмного и поверхностного членов основана на модели жидкой капли. Формула хорошо работает, за исключением оболочечных эффектов. Найдём \(A\), при котором энергия связи на единицу массового числа достигает экстремума: \[\frac{B}{A}=a_V-a_SA^{-1/3}-\frac{a_C}{4}A^{2/3}. \qquad (S2.1)\]
При малом \(A\) второй член доминирует и быстро растёт с \(A\), пока его не перекроет третий, убывающий член. Поэтому экстремум соответствует максимуму \(B/A\). Тогда \[\frac{d(B/A)}{dA}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_S}{3}A^{-4/3}-\frac{a_C}{6}A^{-1/3}=0,\] откуда \[A=\frac{2a_S}{a_C}. \qquad (S2.4)\] По заданным числовым значениям \(A=50\) (должно быть целым). Примечание. На самом деле \(B/A\) имеет максимум при \(A\) от \({}^{56}\)Fe до \({}^{62}\)Ni. Расхождение с ответом этой задачи объясняется пренебрежением энергией спаривания и разностью масс протона и нейтрона.
A.2. Дифференцируя \(B(Z,A-Z)/A\) по \(Z\) при фиксированном \(A\), получаем \[-\frac{2a_CZ^*}{A^{1/3}}-4a_{\text{sym}}\frac{2Z^*-A}{A}=0,\] откуда \[Z^*=\frac{1}{1+\dfrac{a_C}{4a_{\text{sym}}}A^{2/3}}\cdot\frac{A}{2}. \qquad (S2.6)\] Из этого выражения видно, что \(Z^*\simeq N\) при достаточно малом \(A\), а для больших \(A\) \(Z^*\) становится гораздо меньше \(N\). Симметрийная энергия стремится к \(Z=N\), кулоновское взаимодействие — к \(Z\to0\), и баланс этих эффектов определяет \(Z^*\). Ядра с избытком нейтронов (протонов) претерпевают \(\beta^-\)-распад (\(\beta^+\)-распад или захват электрона) к стабильному \((Z,N)\).
A.3. Подставляя энергию связи в данное неравенство, видим, что объёмные члены сокращаются благодаря сохранению объёма. Тогда условие содержит только \(a_S\) и \(a_C\): \[a_S\left[A^{2/3}-2\left(\frac A2\right)^{2/3}\right]+a_C\left[\frac{Z^2}{A^{1/3}}-\frac{2(Z/2)^2}{(A/2)^{1/3}}\right]>0,\] что, как указано в условии, упрощается до \[\frac{Z^2}{A}>\frac{2^{1/3}-1}{1-2^{-2/3}}\cdot\frac{a_S}{a_C}.\] Следовательно, числовой коэффициент равен \(0{,}7\). Примечание. Используя значения \(a_S\) и \(a_C\), находим, что такой симметричный процесс деления возможен при \(Z^2/A\gtrsim18\). Например, свинец (Pb) с \(Z=82\) и \(A=208\) — стабильный элемент среди нескольких изотопов. Для него \(82^2/208\approx32\), что больше порога 18. Ключ к разрешению этого расхождения — потенциальный барьер деформации. Когда тяжёлое ядро делится на два осколка, его форма и поверхность меняются по сравнению со стабильной конфигурацией (которая из-за взаимодействия не обязательно сферическая), поэтому поверхностная энергия возрастает. Хотя некоторые тяжёлые элементы энергетически неустойчивы, время, необходимое для преодоления потенциального барьера, может быть очень большим.
Часть B. Выражение, не зависящее от \(A\) явно, можно идентифицировать как \[a_{\text{grav}}=\frac35\,\frac{Gm_N^2}{R_0}. \qquad (S2.9)\] Выражая \(G\) через \(M_P\), получаем \[a_{\text{grav}}=\frac35\,\frac{\hbar c\,m_N^2}{R_0M_P^2} =\frac35\cdot\frac{197\ \text{фм}\cdot\text{МэВ}\times(939\ \text{МэВ}/c^2)^2}{1{,}1\ \text{фм}\times(1{,}22\times10^{22}\ \text{МэВ}/c^2)^2} \simeq6{,}4\times10^{-37}\ \text{МэВ}. \qquad (S2.10)\] Здесь \(M_P\) — величина, часто называемая массой Планка. Гравитационный эффект крайне мал по сравнению с типичным масштабом ядерной физики, и эта разница масштабов очевидна при записи \(G\) через \(M_P\) в МэВ.
Устойчивость определяется условием положительности энергии связи: \[B_{\text{total}}(A)=a_VA-a_{\text{sym}}A+a_{\text{grav}}A^{5/3}>0. \qquad (S2.11)\] Это неравенство приводится к виду \(A>A_c\), где \[A_c=\left(\frac{a_{\text{sym}}-a_V}{a_{\text{grav}}}\right)^{3/2}\simeq4{,}4\times10^{55}. \qquad (S2.12)\] Примечание. Можно думать, что отрыв одного нейтрона — процесс с наименьшим изменением площади поверхности и потому с наименьшим барьером. Это приводит к условию \(B_{\text{total}}(A)>B_{\text{total}}(A-1)\), или приближённо \(dB_{\text{total}}(A)/dA>0\), которое выполняется в окне с \(B_{\text{total}}<0\). Условие \(dB_{\text{total}}/dA=0\) даёт меньшее \(A_c\), но неясно, можно ли в природе приготовить такое неустойчивое начальное состояние. Нейтронная звезда рождается при сверхновых типа II (коллапс ядра), а протонейтронная звезда, образующаяся сразу после этого, — энергичное состояние при высокой температуре. Нейтрино выносят тепло из протонейтронной звезды за время порядка \(\mathcal{O}(10)\) с. Какова возможная наименьшая масса нейтронной звезды? Это до конца не понято, отчасти потому, что компьютерное моделирование сверхновых остаётся серьёзной проблемой даже сегодня. Хотя по теории масса нейтронной звезды может стать гораздо меньше \(M_\odot\), моделирование и наблюдения указывают на массу \(\gtrsim1{,}4\,M_\odot\).
Часть C. Из закона сохранения энергии свободно падающая система приобретает кинетическую энергию \(\tfrac12mv^2\) за счёт потенциальной энергии \(mg\Delta h\), и её скорость равна \[v^2=2g\Delta h=2\Delta\phi. \qquad (S2.13)\] Задержку времени можно вывести из стандартных рассуждений. Пусть часы-II проходят две бесконечно близкие точки \(z\) и \(z+\Delta z\) в системе \(F\) в моменты \(t\) и \(t+\Delta\tau_{II}\); тогда интервал времени по часам-II равен \[\Delta\tau_{II}=\frac{\gamma}{c}\left(c\,\Delta\tau_F-\beta\,\Delta z\right), \qquad (S2.14)\] где использовано преобразование Лоренца, \(\beta=v/c\), \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\). Поскольку \(\Delta z/\Delta\tau_F=v\) и \(\Delta\tau_F=\Delta\tau_I\), это выражение записывается как \[\Delta\tau_{II}=\gamma(1-\beta^2)\Delta\tau_F=\sqrt{1-\beta^2}\,\Delta\tau_I. \qquad (S2.15)\] Используя выражение для \(v^2\), получаем \[\Delta\tau_{II}=\sqrt{1-\frac{2\Delta\phi}{c^2}}\,\Delta\tau_I\simeq\left(1-\frac{\Delta\phi}{c^2}\right)\Delta\tau_I. \qquad (S2.16)\] Сноска. Часы-\(F\) находятся в инерциальной системе, а часы-II — нет. Используя часы-II\('\) в другой свободно падающей системе II\('\) как инерциальный эталон для часов-II, преобразование Лоренца обосновывается для часов-II\('\), наблюдаемых из \(F\).
C.2. Через эффективную скорость света полное время, необходимое свету на путь от N до E: \[t_{E\text{-}N}=\int_{x_N}^{x_E}\frac{dx}{c_{\text{eff}}(x)}. \qquad (S2.17)\] Знаменатель раскладывается по гравитационному потенциалу, и главная поправка равна \[t_{E\text{-}N}\simeq\frac1c\int_{x_N}^{x_E}dx\left(1+\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^2\sqrt{x^2+d^2}}\right) =\frac{x_E-x_N}{c}+\Delta t,\] где задержка \(\Delta t\) равна \[\Delta t=\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\int_{x_N}^{x_E}\frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} =\frac{GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\!\left(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\right)\Bigg|_{x=x_N}^{x=x_E}. \qquad (S2.18)\text{–}(S2.19)\] Внутри логарифма используются приближения \[\sqrt{x_N^2+d^2}+x_N\simeq\frac{d^2}{2|x_N|}, \qquad \sqrt{x_N^2+d^2}-x_N\simeq2|x_N|, \qquad (S2.20)\] и \[\sqrt{x_E^2+d^2}-x_E\simeq\frac{d^2}{2x_E}, \qquad \sqrt{x_E^2+d^2}+x_E\simeq2x_E. \qquad (S2.21)\] Тогда простой вид приближённой задержки: \[\Delta t\simeq\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{4|x_N|x_E}{d^2}. \qquad (S2.22)\]
C.3. Для \(\Delta t_{\max}\) имеем \(|x_N|=L\cos\varepsilon\simeq L\) и \(d=L\sin\varepsilon\simeq L\varepsilon\), поэтому ответ C.2 даёт \[\Delta t_{\max}=\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{4x_E}{L\varepsilon^2}. \qquad (S2.23)\] Для \(\Delta t_{\min}\) знак \(x_N\) меняется. Выражение для \(\Delta t\) сохраняется, но приближения принимают другой вид: \[\sqrt{x_N^2+d^2}+x_N\simeq2x_N, \qquad \sqrt{x_N^2+d^2}-x_N\simeq\frac{d^2}{2x_N}. \qquad (S2.24)\] Тогда \[\Delta t_{\min}\simeq\frac{GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\!\left(\frac{2x_E\cdot d^2/(2x_N)}{d^2/(2x_E)\cdot2x_N}\right) =\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{x_E}{L}, \qquad (S2.25)\] где использовано \(x_N\simeq L\) в последнем выражении. В разности \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\) величины \(L\) и \(x_E\) сокращаются: \[\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}=\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{4}{\varepsilon^2}.\]
C.4. Используя разложение \(\cos\varepsilon\simeq1-\frac12\varepsilon^2\), получаем \[\varepsilon^2\simeq2(1-\cos\varepsilon)=0{,}00022. \qquad (S2.26)\] По графику разность задержек по времени приблизительно равна \[\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\approx50\ \text{мкс}. \qquad (S2.27)\] Из этих численных значений \[M_{\text{WD}}=M_\odot\left(\frac{2GM_\odot}{c^3}\right)^{-1}\frac{\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}}{\log(4/\varepsilon^2)} \simeq\frac{50\ \text{мкс}}{10\ \text{мкс}\cdot\log(4/0{,}00022)}\,M_\odot\simeq0{,}5\,M_\odot. \qquad (S2.28)\] Примечание. Данные этой задачи приблизительно соответствуют пульсару PSR J1614-2230 [см. P. B. Demorest et al., Nature 467, 1080–1083 (2010)]. По задержке Шапиро масса белого карлика оценивалась как \(0{,}500\pm0{,}006\,M_\odot\). По кеплеровским орбитальным параметрам двойной системы масса нейтронной звезды считалась равной \(1{,}97\pm0{,}04\,M_\odot\), что было самой тяжёлой известной нейтронной звездой на тот момент. С тех пор найдены несколько кандидатов в более тяжёлые нейтронные звёзды.
C.5. Для круговой орбиты радиуса \(R\) уравнение движения \[mR\omega^2=\frac{GmM}{R^2}, \qquad (S2.29)\] если \(M\) достаточно велика. Отсюда \[R^3\omega^2=GM=\text{const}. \qquad (S2.30)\] Это третий закон Кеплера, и соотношение выполняется и для более общих эллиптических орбит вокруг центра масс. Следовательно, \(\omega\propto R^{-3/2}\), т.е. \(p=-\dfrac32\).
C.6. Сумма кинетической и потенциальной энергий \[E=\frac12mR^2\omega^2-\frac{GmM}{R}. \qquad (S2.31)\] Из уравнения движения это переписывается как \[E=-\frac12\,\frac{GmM}{R}. \qquad (S2.32)\] Поэтому при уменьшении \(E\) из-за излучения гравитационных волн \(R\) уменьшается, а \(\omega\) растёт. Поскольку амплитуда пропорциональна \(R^2\omega^2\propto R^{-1}\), она тоже растёт. Итак, и частота, и амплитуда возрастают со временем, как показано на профиле (b).