Ядерные реакторы

При упругом центральном ударе о покоящуюся частицу нейтрон теряет больше всего скорости, когда массы равны; после каждого удара его скорость умножается на один и тот же множитель, так что число ударов находится через логарифм. В пункте iv) к расширению газа за счёт набухания добавляется парциальное давление ксенона.

i) \(v_{\mathrm f}=2{,}2\times10^3\) м/с, \(T_{\mathrm f}\approx290\) К (или \(\approx193\) К при \(E=\tfrac32k_BT\));  ii) \(v_0=2{,}0\times10^7\) м/с;  iii) \(M=m_n\), \(N=614\);  iv) \(n_{\mathrm{Xe}}=5{,}5\times10^{-3}\) моль, \(n_{\mathrm{He}}/n_{\mathrm{Xe}}\approx3{,}3\).

i) Если скорость частицы много меньше скорости света, можно пользоваться нерелятивистским подходом. Для нерелятивистских частиц \(v=\sqrt{2E_k/m}\). Подстановка значений даёт \(v_{\mathrm f}=2{,}2\times10^3\) м/с. Это много меньше скорости света, так что применение оправдано. Другой способ обосновать применимость нерелятивистского подхода — сказать, что кинетическая энергия значительно меньше энергии покоя (\(E_{\mathrm f}\ll m_nc^2\)).

Опечатка в условии задачи. \(E_{\mathrm f}=0{,}025\) эВ — это мода распределения Максвелла — Больцмана, для которой \(E=k_BT\). Для среднего значения \(E=(3/2)k_BT\).

Используя моду распределения Максвелла — Больцмана \(E=k_BT\) и не забыв правильно перевести эВ в Дж, находим \[T_{\mathrm f}=\frac{0{,}025\cdot1{,}602\times10^{-19}}{1{,}38\times10^{-23}}=290\text{ К}.\] При \(E=(3/2)k_BT\) находим \(T_{\mathrm f}\approx193\) К.

ii) Нерелятивистский подход оправдан, как в предыдущем пункте. Тот же подход даёт \(v_0=2{,}0\times10^7\) м/с.

iii) При столкновении частицы 1 (\(m_1\), \(v_{1,i}\) и \(v_{1,f}\)) и частицы 2 (\(m_2\), \(v_{2,i}\) и \(v_{2,f}\)) сохраняется импульс, \[m_1(v_{1,f}-v_{1,i})=m_2(v_{2,i}-v_{2,f}),\] а так как столкновения упругие, сохраняется и кинетическая энергия: \[m_1(v_{1,f}^2-v_{1,i}^2)=m_2(v_{2,i}^2-v_{2,f}^2).\] Деление второго равенства на первое приводит к \[v_{1,i}+v_{1,f}=v_{2,i}+v_{2,f}.\] Подстановка этого в закон сохранения импульса даёт для частицы 1: \[v_{1,f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1,i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2,i},\] и аналогично для частицы 2: \[v_{2,f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1,i}+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{2,i}.\] Видно, что при \(m_1=m_2\) передача импульса максимальна. Предполагая, что частица 1 — нейтрон, а частица 2 — мишень, и что мишень для всех практических целей покоится, получаем, что масса атомов замедлителя должна быть равна массе нейтрона. При одном столкновении с неподвижным атомом замедлителя скорость нейтрона уменьшается в \(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) раз, так что скорость нейтрона после \(N\) лобовых столкновений с неподвижными атомами замедлителя будет равна \[v_N=v\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^N.\] Следовательно, \[N=\frac{\ln(v_{\mathrm f}/v_0)}{\ln[|m_1-m_2|/(m_1+m_2)]}=\frac12\,\frac{\ln(E_{\mathrm f}/E_0)}{\ln[|m_1-m_2|/(m_1+m_2)]}=614.\]

iv) Газ внутри стержня можно моделировать как идеальный газ. Только из-за набухания давление внутри стержня выросло бы с \(2{,}5\) МПа до \(5\) МПа, как мы знаем из закона Бойля \(P_1V_1=P_2V_2\Rightarrow P_2=P_1V_1/V_2\). Значит, выделение ксенона должно давать вклад в давление, равный \(1{,}5\) МПа, по закону Дальтона \(p_{\text{полн}}=p_{\mathrm{He}}+p_{\mathrm{Xe}}\). Из закона идеального газа находим количество молей ксенона \[n_{\mathrm{Xe}}=p_{\mathrm{Xe}}V/RT_0=5{,}5\times10^{-3}\text{ моль},\] где \(p_{\mathrm{Xe}}=1{,}5\) МПа, \(V_2=9\) см\(^3\) и \(T=293\) К. Таким же образом находим количество гелия в начале: \[n_{\mathrm{He}}=p_{\mathrm{He}}V_0/RT_0=1{,}8\times10^{-2}\text{ моль},\] где \(p_{\mathrm{He}}=2{,}5\) МПа, \(V_0=18\) см\(^3\) и \(T_0=293\) К. Их отношение \[\frac{n_{\mathrm{He}}}{n_{\mathrm{Xe}}}\approx3{,}3.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.