Заряженный стержень

Все элементы стержня имеют одно и то же отношение заряда к массе, поэтому в однородном поле они обращаются с одной и той же циклотронной частотой. Центр масс такого стержня движется так же, как одна заряженная частица с зарядом \(q\) и массой \(m\).

i) \(\omega=\dfrac{qB}{m}\);  ii) \(t_{\min}=\dfrac{2\pi m}{qB}\), \(v=\dfrac{qBl}{2m}\).

i) Заметим, что все частицы с одним и тем же отношением заряда к массе обращаются в однородном магнитном поле с одной и той же частотой \(\omega_B=\dfrac{Bq}{m}\); орбита — окружность радиуса \(r=\dfrac{v}{\omega_B}\). Действительно, сила Лоренца должна обеспечивать центростремительное ускорение, следовательно, \(Bqv=mv\omega_B\Rightarrow\omega_B=\dfrac{Bq}{m}\).

Поскольку отношение массы к заряду одинаково для всех мысленно выделенных кусочков стержня, то при вращении стержня с угловой скоростью \(\omega=\dfrac{Bq}{m}\) сила Лоренца обеспечивает всем этим кусочкам в точности нужное ускорение, и сила натяжения везде равна нулю.

С другой стороны, если бы угловая скорость была меньше или больше, то для всех кусочков выполнялось бы \(Bqv<mv\omega\) либо \(Bqv>mv\omega\), что привело бы к растягивающему либо сжимающему натяжению в центре стержня соответственно. Поэтому ответ: \(\omega=\dfrac{Bq}{m}\).

ii) Для начала заметим, что если система зарядов с одним и тем же отношением заряда к массе \(\alpha=q/m\) движется в однородном магнитном поле, то центр масс будет двигаться по окружности с циклотронной частотой \(\omega_B\). Действительно, полная сила Лоренца, действующая на систему, равна \[\sum_iq_i\frac{d\vec r_i}{dt}\times\vec B=\alpha\sum_im_i\frac{d\vec r_i}{dt}\times\vec B=\alpha\frac{d\vec r_C}{dt}\times\vec B\sum_im_i.\] Итак, второй закон Ньютона принимает вид \[\frac{d^2\vec r_C}{dt^2}\sum_im_i=\frac qm\frac{d\vec r_C}{dt}\times\vec B\sum_im_i.\] Полная масса системы сокращается в этом уравнении, и мы видим, что центр масс \(\vec r_C\) движется так же, как точечный заряд \(q\) с массой \(m\).

Того же можно добиться и интегрированием. Из второго закона Ньютона \(m\vec a_C=\int dq\,\vec v\times\vec B\), где \(\vec v\) — скорость элемента заряда \(dq\). Но так как распределения массы и заряда однородны, \(dq=\dfrac qm\,dm\), а \(\vec B\) постоянно, его можно вынести из-под интеграла, и получаем \(m\vec a_C=\dfrac qm\left(\int\vec v\,dm\right)\times\vec B\). Но теперь интеграл — это просто \(m\vec v_C\) (это видно непосредственно или из определения центра масс: \(\int\dfrac{d\vec r}{dt}\,dm=\dfrac{d}{dt}\int\vec r\,dm=m\vec r_C\)). Таким образом, получаем \(m\vec a_C=q\vec v_C\times\vec B\).

Кроме того, стержень может (и будет) вращаться с постоянной скоростью. То, что угловая скорость должна быть постоянной, следует из сохранения кинетической энергии стержня, которая есть сумма кинетической энергии центра масс и энергии вращения вокруг центра масс. Первая постоянна, значит, постоянна и вторая.

Центр масс движется со скоростью \(v/2\) и описывает окружность радиуса \(R=\dfrac{mv}{2Bq}\), которая проходит через точку \(\left(\dfrac l2,0\right)\) и для которой ось \(x\) является осью симметрии. Красный конец может достичь начала координат, только когда центр масс находится на расстоянии \(\dfrac l2\) от начала координат. Это может произойти либо спустя полный циклотронный период \(T=2\pi/\omega_B\), либо в любой момент, если \(R=\dfrac l2\) и окружность центрирована в начале координат.

Чтобы определить, может ли это произойти раньше, чем через время \(T\), предположим, что \(R=\dfrac{mv}{2Bq}=\dfrac l2\). В этом случае угловая скорость вращения стержня равна \(\Omega=\dfrac vl\), и мы получаем \(v=\dfrac{Bql}{m}\). Это означает, что \(\Omega=\dfrac{Bq}{m}=\omega_B\), то есть угловая скорость вращения стержня совпадает с угловой скоростью центра масс на его орбите, что привело бы к тому, что синий конец остаётся в начале координат.

Далее исследуем, может ли красный конец достичь начала координат по истечении времени \(T\). Для этого должно выполняться условие \(\Omega T=2\pi n+\pi\), где \(n\) — целое число. Так как \(\Omega=v/l\) и нужно минимизировать \(v\), берём \(n=0\) и получаем \(v=\pi l/T=\dfrac{lBq}{2m}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.