Фазовая спираль

Ускорение в плоской пластине постоянной плотности находится по теореме Гаусса и оказывается пропорциональным \(z\), то есть движение гармоническое. В точках спирали с \(v_z=0\) энергия равна \(\Phi(z)\), а в точках с \(z=0\) — кинетической энергии, так что потенциал можно восстановить по энергиям соседних пересечений.

i) \(a_z=-4\pi G\rho_0z\);  ii) \(T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{4\pi G\rho_0}}=\sqrt{\dfrac{\pi}{G\rho_0}}\);  iii) таблица в решении;  iv) \(\rho_0\approx6{,}1\times10^{-21}\) кг/м\(^3\approx0{,}090\,M_\odot/\)пк\(^3\);  v) \(\rho_{\mathrm{DM}}\approx7{,}7\times10^{-22}\) кг/м\(^3\approx0{,}011\,M_\odot/\)пк\(^3\) (около 13 % полной локальной плотности);  vi) \(\approx1{,}9\times10^{16}\) с \(\approx620\) млн лет.

i) Гравитационное ускорение подчиняется закону Гаусса, то есть число силовых линий, проходящих через замкнутую поверхность, пропорционально заключённой внутри неё массе. На примере точечной массы \(M\) видно, что \(\int g\,dA=4\pi GM\). Применяя это к бесконечной плоскости с постоянной плотностью и к параллелепипеду с площадью основания \(A\) и полутолщиной \(z\), получаем \(-2a_zA=4\pi G\cdot2Az\rho_0\), откуда \[a_z=-4\pi G\rho_0z.\]

ii) Ускорение пропорционально смещению, а значит, соответствует гармоническому осциллятору. Следовательно, период колебаний равен \[T=\frac{2\pi}{\sqrt{4\pi G\rho_0}}=\sqrt{\frac{\pi}{G\rho_0}}.\]

iii) Если проследить траекторию одной звезды, лежащей на спирали, мы обнаружим, что она колеблется около средней плоскости с некоторым периодом \(T(z)\), который убывает с ростом \(z\). За время обращения энергия на единицу массы сохраняется и равна \(E=v_z^2/2+\Phi(z)\). Мы знаем, что вблизи средней плоскости гравитационный потенциал минимален и равен нулю, поэтому \(v_z\) максимальна, а кинетическая энергия равна полной энергии. Следовательно, нам известна полная энергия звёзд в семи точках пересечения спирали с \(z=0\). Аналогично, когда \(v_z=0\), кинетическая энергия минимальна и равна нулю, поэтому полная энергия равна \(\Phi(z)\) в этих точках.

По мере прохождения различных точек пересечения с \(v_z=0\) и \(z=0\) вдоль спирали максимальный размах орбиты продолжает расти. В первом приближении, если предположить, что максимальный размах растёт линейно с каждым пересечением, потенциальную энергию в точках пересечения с \(v_z=0\) можно найти как среднее между кинетическими энергиями предыдущего и последующего пересечений оси \(z=0\). Это позволяет определить потенциальную энергию во всех точках пересечения с \(v_z=0\), как показано в таблице и на графике ниже.

iv) Для гармонического осциллятора потенциальная энергия росла бы как \(z^2\). Судя по полученному графику потенциальной энергии, она растёт примерно квадратично в начале, а затем переходит в более линейный режим, что означает: при меньших \(z\) плотность более однородна. Взяв первое полученное значение \(\Phi(z_1)=180\) км\(^2\)/с\(^2\), можно оценить плотность в средней плоскости. Из первого пункта \(\Phi(z)=\int a_z\,dz=2\pi G\rho_0z^2\), и поэтому \[\rho_0=\frac{\Phi(z_1)}{2\pi Gz_1^2}=6{,}1\times10^{-21}\text{ кг/м}^3=0{,}090\,M_\odot/\text{пк}^3.\]

v) Поверхностную плотность \(\Sigma(z)\), заключённую при \(0<z\), можно вычислить, используя предыдущую оценку гармонического осциллятора. В приближении постоянной плотности поверхностная плотность равна \(\Sigma(z)=\rho_0z=\Phi(z)/(2\pi Gz)\). Конечно, здесь \(\rho_0\) — всего лишь вспомогательная переменная, используемая в приближении постоянного профиля ради упрощения расчётов. Ожидается, что окончательный результат отличается от истинного значения на численный множитель, близкий к единице.

Предполагая, что вдали доминирует тёмная материя, можно использовать разность между двумя самыми далёкими точками данных, \(z_5\) и \(z_6\), для оценки плотности тёмной материи: \[\Sigma(z_6)-\Sigma(z_5)=\rho_{\mathrm{DM}}(z_6-z_5)=\frac1{2\pi G}\left(\frac{\Phi(z_6)}{z_6}-\frac{\Phi(z_5)}{z_5}\right).\] Таким образом, \[\rho_{\mathrm{DM}}\approx\frac1{2\pi G(z_6-z_5)}\left(\frac{\Phi(z_6)}{z_6}-\frac{\Phi(z_5)}{z_5}\right)=7{,}7\times10^{-22}\text{ кг/м}^3=0{,}011\,M_\odot/\text{пк}^3.\] Следовательно, тёмная материя составляет около \(\rho_{\mathrm{DM}}/\rho_0=13\,\%\) от полного локального количества вещества.

vi) Время возмущения можно оценить по скорости закручивания между двумя точками спирали и по тому, сколько полных оборотов вокруг начала координат они сделали друг относительно друга. Используя оценку гармонического осциллятора, во-первых, \(\rho_0=\Phi(z)/(2\pi Gz^2)\) и, во-вторых, угловая частота равна \[\omega(z)=\sqrt{4\pi G\rho_0}=\sqrt{2\Phi(z)/z^2}.\] Выбрав, например, точки \(z_1\) и \(z_6\) и увидев, что между ними 2,5 полных оборота, можно выразить, как давно произошло возмущение: \[T_0=2{,}5\,\frac{2\pi}{\omega(z_1)-\omega(z_6)}=5\pi\left(\sqrt{2\Phi(z_1)/z_1^2}-\sqrt{2\Phi(z_6)/z_6^2}\right)^{-1}=1{,}9\times10^{16}\text{ с}=620\text{ млн лет}.\]

Этот промежуток времени относительно велик, но по сравнению со временем жизни Млечного Пути, которое составляет около 13,6 млрд лет, он относительно недавний.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.