Летающая гантель

Удар длится гораздо меньше периода колебаний, поэтому передний шар мгновенно разворачивает скорость, а остальная гантель ещё «не знает» об ударе. При наклонной оси к продольным колебаниям добавляется вращение вокруг центра масс.

i) \(T=4\pi\dfrac rd\sqrt{\dfrac{2\rho rl}{3Y}}\approx0{,}64\) мс;  ii) \(\tau\sim 2r\sqrt{\rho/Y}\approx4\) мкс;  iii) график на рисунке в решении;  iv) \(\alpha_0=\operatorname{arctg}\sqrt{0{,}217}\approx25^\circ\);  v) \(v\sin^2\alpha\).

i) Свободные колебания гантели происходят около центра масс, то есть около середины стержня. Поэтому нужна жёсткость половины стержня. Эта жёсткость выражается как \(k=Y\dfrac{\pi}{2}\dfrac{d^2}{l}\). Нужна также масса шара \(m=\dfrac43\pi r^3\rho\). Угловая частота колебаний \(\omega=\sqrt{k/m}\), следовательно, период \[T=2\pi\sqrt{\frac mk}=4\pi\frac rd\sqrt{\frac{2\rho rl}{3Y}}\approx0{,}64\text{ мс}.\]

ii) Проще всего оценить так: сжатый шар — по существу волна сжатия в стали, поэтому период — порядка периода волны с длиной волны \(2r\). Зная скорость звука \(c_s=\sqrt{Y/\rho}\), получаем \(\tau\sim2r/c_s=2r\sqrt{\rho/Y}=4\) мкс. Альтернативно, можно считать шар пружиной жёсткости \(\kappa\sim Yr\) и массы \(\sim m\) и получить аналогичный результат: \(\tau\sim2\pi\sqrt{m/\kappa}\).

iii) Когда гантель с осью, перпендикулярной стене, приближается со скоростью \(\vec v=-v\hat x\), первым со стеной взаимодействует передний шар. Поскольку время удара (\(\tau\approx4\) мкс) много меньше периода колебаний (\(T\approx0{,}64\) мс), скорость переднего шара почти мгновенно меняется с \(-v\) на \(+v\), а задний шар продолжает двигаться со скоростью \(-v\). Так как массы шаров равны, центр масс остаётся неподвижным. Затем гантель колеблется около этого неподвижного центра масс, причём скорость переднего шара изменяется по синусоиде на протяжении полупериода, переходя от \(+v\) к \(-v\) за время \(T/2\). Когда скорость достигает \(-v\), передний шар снова ударяется о стену, и его скорость мгновенно меняется с \(-v\) на \(+v\). После этого второго удара оба шара удаляются от стены с одной и той же скоростью \(+v\), так что гантель в целом улетает со скоростью \(+v\).

На рисунке: \(t\) — время, \(v\) — \(x\)-компонента скорости переднего шара.

iv) Во время удара скорость переднего шара становится противоположной, поэтому центр масс останавливается (задний шар всё ещё движется со старой скоростью). После столкновения передний шар получает составляющую \(v\cos\alpha\) вдоль оси и \(v\sin\alpha\) перпендикулярно ей. Первая возбуждает колебания с периодом \(T\), вторая — вращение с угловой скоростью \[\Omega=\frac{v\sin\alpha}{l/2}=\frac{2v\sin\alpha}{l}.\] Шар ударится о стену дважды, если вращение медленное, и только один раз, если вращение достаточно быстрое; изучим это подробнее. К моменту времени \(t\ll1/\Omega\) угол поворота равен \(\Omega t\), а расстояние от центра вращения до дальней точки шара равно \(l/2-a\sin(\omega t)\), где амплитуду колебаний можно получить из закона сохранения энергии: \(a=v\cos\alpha\sqrt{m/k}=v\cos\alpha/\omega\). Итак, расстояние от стены до ближайшей к ней точки равно \[\begin{gather*} \frac l2\cos\alpha-\left[\frac l2-a\sin(\omega t)\right]\cos(\alpha+\Omega t)\approx\\ \approx\frac l2\Omega t\sin\alpha+a\cos\alpha\sin\omega t=vt\sin^2\alpha+\frac v\omega\cos^2\alpha\sin\omega t=\\ =\frac v\omega\, s\sin^2\alpha+\frac v\omega\cos^2\alpha\sin s,\qquad s\equiv\omega t. \end{gather*}\] Если это выражение становится отрицательным, произойдёт второе столкновение. Значит, переходное значение \(\alpha=\alpha_0\) таково, что выражение никогда не бывает отрицательным; следовательно, \[\operatorname{tg}^2\alpha_0=-\min\frac{\sin s}{s}\approx0{,}217,\] откуда \[\alpha_0=\operatorname{arctg}\sqrt{0{,}217}\approx25^\circ.\]

v) Используя результаты предыдущего пункта: угловая скорость после первого столкновения \(\Omega=2v\sin\alpha/l\). Гантель вращается вокруг центра масс, продольные колебания затухают к моменту второго столкновения. Она вращается, пока другой шар не ударится о стену. В момент второго столкновения скорость шара равна \(v\sin\alpha\), а её проекция на нормаль к стене равна \(-v\sin^2\alpha\). При втором столкновении эта составляющая меняет знак, в результате оба шара имеют теперь \(x\)-составляющую скорости \(v\sin^2\alpha\). Следовательно, это и есть скорость центра масс — скорость, с которой гантель удаляется от стены.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.