Испарение

Пока поршень тянут, объём заполняется паром, поэтому давление под поршнем равно давлению насыщенного пара при данной температуре. В пункте iii) в равновесии тепловой поток к коже из воздуха равен теплоте, уносимой испаряющейся водой, а оба потока выражаются через градиенты на одной и той же толщине слоя.

i) \(F=S(p_0-p_1)\approx300\) Н;  ii) \(m\approx650\) г;  iii) \(T_s\approx41{,}5\,^\circ\)C.

i) Вода с хорошим приближением несжимаема; поэтому, когда поршень начинает двигаться, растущий объём должен заполняться газом, которым могут быть только пары воды. Значит, вода начинает кипеть: эти пары должны находиться в равновесии с водой, следовательно, давление пара должно быть равно давлению внутри цилиндра. По графику читаем, что при \(T_0\) плотность пара \(\rho=420\) г/м\(^3\); это соответствует давлению \(p_1=\rho RT/\mu=70\) кПа. При атмосферном давлении \(p_0=100\) кПа сила, необходимая, чтобы тянуть поршень, равна \(S(p_0-p_1)=300\) Н.

ii) Когда поршень вытянут на расстояние \(a\), создавая новый объём \(V_{\text{нов}}=S\times a\), часть воды испаряется и заполняет этот объём паром, а оставшаяся жидкая вода остывает от температуры \(T_0\) до \(T_1\). Массу пара \(m_v\), необходимую для заполнения нового объёма, можно вычислить по плотности пара \(\rho_1=405\) г/м\(^3\): \(m_v=Sa\rho_1\). Для теплового баланса энергия на испарение должна браться из остывания оставшейся жидкой воды: \[m_vL=(m-m_v)\cdot c\cdot(T_0-T_1); \tag{1}\] здесь мы пренебрегли зависимостью \(L\) от температуры и теплоёмкостью водяного пара, так как \(\mu L\gg4R(T_1-T_0)\) (но работу поршня мы не отбросили, потому что \(L\) на самом деле — это уже энтальпия испарения, включающая \(p\Delta V\)). Аналогично, так как \(L\gg c(T_1-T_0)\), в правой части можно пренебречь \(m_v\) и выразить \[m=\frac{m_vL}{c(T_0-T_1)}=\frac{\rho_1SaL}{c(T_0-T_1)}=650\text{ г}. \tag{2}\]

iii) При тепловом равновесии тепловой поток к коже равен потерям теплоты на испарение. Первый (на единицу площади) равен \(\kappa\,\dfrac{dT}{dx}\), а второй (на единицу площади) — \(-LJm\), где \(m\) — масса одной молекулы, равная \(m=\mu/N_A\); получаем \(J\mu L/N_A\). Заметим, что знак минус возникает потому, что частицы диффундируют из областей с большей плотностью в области с меньшей плотностью. Из закона идеального газа \(n=P/Tk_B=PN_A/TR\), откуда \(J=-D\,\dfrac{d}{dx}\dfrac{rp}{Tk_B}=-D\,\dfrac{d}{dx}\dfrac{PN_A}{RT}\). Давление водяного пара связано с \(r\) соотношением \(P=rp\), где \(p\) обозначает давление насыщенного пара при локальной температуре воздуха. Итак, \[\kappa\frac{dT}{dx}=-\frac{DL\mu}{R}\frac{d}{dx}\frac{rp}{T},\] где \(p=p(T)\) обозначает давление насыщенного водяного пара при локальной температуре воздуха; поэтому, интегрируя по \(x\), получаем \[\kappa(T-T_s)=\frac{DL\mu}{R}\left[\frac{p(T_s)}{T_s}-\frac{rp(T)}{T}\right],\] где индекс \(s\) обозначает величины на поверхности кожи. Мы также использовали, что \(r_s=1\), поскольку на поверхности кожи воздух находится в прямом контакте с водой (кожа мокрая из-за потоотделения), так что \(pr_s=p(T_s)\). Подставляя \(\rho=\dfrac{p\mu}{RT}\), получаем \[\rho(T_s)=r\rho(T)+\frac{\kappa}{DL}(T-T_s).\] Здесь по графику находим \(r\rho(T)=24{,}3\) г/м\(^3\) и \(\dfrac{\kappa}{DL}=0{,}51\) г м\(^{-3}\) К\(^{-1}\). Теперь можно провести эту прямую линию на выданном графике и найти точку пересечения: \(T_s=41{,}5\,^\circ\)C.

Решение 2 (Эппу Лейнонен). Можно работать и прямо с \(\rho\): поскольку \(n=N/V=MN_A/\mu V=\rho N_A/\mu\), модуль теплового потока сразу становится равным \[LJm=LmD\frac{dn}{dx}=LmD\frac{N_A}{\mu}\frac{d\rho}{dx}=LD\frac{d\rho_v}{dx},\] где \(\rho_v\) — плотность водяного пара. Тогда, с правильными знаками, \[\kappa\frac{dT}{dx}=-LD\frac{d\rho_v}{dx},\] откуда, интегрируя и используя \(\rho_v=r\rho\), получаем \[\rho(T_s)=r\rho(T)+\frac{\kappa}{DL}(T-T_s),\] и решение продолжается так же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.