Бросание

В системе отсчёта, свободно падающей вместе с точками броска, и камень, и мяч движутся по прямым. В пункте i) полезна система отсчёта, движущаяся вместе с дроном; в пункте ii) скорость мяча минимальна при определённом угле в треугольнике \(S\)–\(B\)–точка встречи.

i) \(v_0=2\sqrt{gh}\);  ii) \(v\approx12{,}3\) м/с, \(u\approx10{,}9\) м/с.

i) В системе отсчёта дрона эффективное поле тяжести равно \((g,g)\); его величина \(g\sqrt2\), направлено оно под углом \(45^\circ\). Начальная кинетическая энергия мяча равна \(\tfrac12mv_0^2\), а конечная — нулю: изменение потенциальной энергии равно \(m(g\sqrt2)\cdot(h\sqrt2)\), где \(h\sqrt2\) — перемещение вдоль направления эффективного поля. Из закона сохранения энергии получаем \(\tfrac12mv_0^2=m(g\sqrt2)\cdot(h\sqrt2)\), откуда \(v_0=2\sqrt{gh}\).

Решение 2 (Анне-Софи Мортенссон и Адам Варнербринг). За время \(t\) дрон проходит расстояние \(s=\tfrac12gt^2\). Чтобы столкновение произошло в момент \(t\), мяч должен пройти вверх расстояние \(h\), что даёт уравнение \(h=vt\sin\alpha-\tfrac12gt^2\), а по горизонтали расстояние \(h+s\), что даёт уравнение \(h+s=vt\cos\alpha\). Из этих уравнений получаем \(vt\sin\alpha=vt\cos\alpha\), то есть \(\alpha=45^\circ\). Значит, начальные \(x\)- и \(y\)-компоненты скорости должны быть равны. Поэтому начальная скорость минимальна, когда наивысшая точка траектории минимальна, а это происходит, когда она находится на высоте \(h\) над точкой бросания. Из закона сохранения энергии получаем \(\tfrac12\left(v_0/\sqrt2\right)^2=gh\), откуда \(v_0=2\sqrt{gh}\).

Альтернативно, минимальную скорость можно получить из \(\alpha=45^\circ\) так. Возвращаясь к нашим кинематическим уравнениям, получаем, что условие совпадения \(x\)-координат дрона и мяча: \(vt\sin\alpha-\tfrac12gt^2=\dfrac{vt}{\sqrt2}-\tfrac12gt^2=h+s=h+\tfrac12gt^2\). Но и для \(y\)-координаты \(h=vt\sin\alpha-\tfrac12gt^2=\dfrac{vt}{\sqrt2}-\tfrac12gt^2\). То есть оба уравнения принимают вид \(\tfrac12gt^2-\dfrac{vt}{\sqrt2}+h=0\), так что нужно лишь найти, какова минимальная скорость, при которой это уравнение имеет решение. Так как уравнение квадратное, оно имеет решение, когда дискриминант \(\Delta\) неотрицателен. Теперь \(\Delta=v^2/2-2gh\) — возрастающая функция \(v\). Значит, минимальная скорость, при которой возможно столкновение, соответствует нулевому дискриминанту. Отсюда \(v=2\sqrt{gh}\).

Альтернативная трактовка. Некоторые школьники поняли задачу так, что у дрона ускорение \((g,-g)\). Эта трактовка делает задачу сложнее и принимается. Следующее решение (Эппу Лейнонен) показывает, как решить этот вариант. Если перейти в систему отсчёта, движущуюся вместе с дроном, то у мяча будет полное ускорение \((-g,0)\), а дрон останется на месте. Это подсказывает повернуть оси координат так, чтобы ускорение мяча стало \((0,-g)\); если поместить начало координат в точку бросания, то дрон окажется в точке \((-h,h)\). Теперь все точки, достижимые мячом с начальной скоростью \(v\), задаются так называемой огибающей, уравнение которой известно: \(y\le v_0^2/2g-gx^2/2v_0^2\). При минимально возможной скорости дрон будет лежать на огибающей, так как иначе точка либо недостижима, либо скорость можно уменьшить. Значит, нужно найти \(v_0\), для которого уравнение \(h=v_0^2/2g-gh^2/2v_0^2\) имеет решение. Преобразование даёт \(v_0^4-2ghv_0^2-g^2h^2=0\), квадратное уравнение относительно \(v_0^2\) (биквадратное относительно \(v_0\)), решения которого \(v_0^2=\dfrac{2gh\pm\sqrt{4g^2h^2+4g^2h^2}}{2}=gh\pm gh\sqrt2\), которое положительно лишь при выборе знака плюс, поэтому \(v_0^2=(1+\sqrt2)gh\), а значит, \(v_0=\sqrt{(1+\sqrt2)gh}\).

ii) Решение 1. Воспользуемся свободно падающей системой отсчёта, в которой мяч и камень движутся по прямым. Эта система за время полёта \(t\) упала вместе с точками \(S\) и \(B\) на \(h=\tfrac12gt^2\), поэтому в ней положение точки столкновения \(C'\) получается сдвигом \(C\) относительно \(S\) и \(B\) на расстояние \(h\) вверх. В этой системе \(|SC'|=vt\) и \(|BC'|=ut\), следовательно, \(|SC'|/|BC'|=v/u\). Скорость \(v\) задана, а \(u\) нужно сделать как можно меньше, поэтому \(|SC'|/|BC'|\) должно быть максимальным. По теореме синусов \(|SC'|/|BC'|=\sin\angle SBC'/\sin\angle C'SB\). Так как \(\angle C'SB\) определяется углом бросания камня и потому фиксирован, мальчику нужно максимизировать \(\sin\angle C'BS\). Очевидно, максимум, равный 1, достигается при \(\angle C'BS=90^\circ\). Следовательно, нужно провести перпендикуляр к \(SB\) в точке \(B\) и найти \(C'\) как точку его пересечения с вертикальной прямой, проведённой через \(C\). Тогда \(|CC'|=\tfrac12gt^2\), откуда получаем \(t=\sqrt{2|CC'|/g}\), \(v=\sqrt g\,|SC'|/\sqrt{2|CC'|}\approx12{,}3\) м/с и \(u=\sqrt g\,|BC'|/\sqrt{2|CC'|}\approx10{,}9\) м/с.

Решение 2. Чисто геометрическое доказательство того, что для минимизации \(BC'/SC'\) нужно \(C'B\perp BS\), таково (остальное решение то же самое). После перехода в свободно падающую систему перейдём в систему, движущуюся со скоростью \(\vec v\). Чтобы мяч попал в камень, его скорость \(\vec u\,'\) в этой системе должна быть направлена на камень. То есть \(\vec u\,'=k\,\overrightarrow{BS}\), где \(k>0\). С другой стороны, \(\vec u\,'=\vec u-\vec v\). Но это означает, что \(\vec v-\vec u\) должен оканчиваться на прямой \(SB\). Возможные конечные точки \(\vec v-\vec u\) получаются проведением окружности радиуса \(u\) вокруг конца вектора \(\vec v\). При минимальном \(|\vec u|\), при котором выполняется условие, что относительная скорость оканчивается на \(SB\), окружность будет касаться \(SB\), что означает \(\vec u\perp\overrightarrow{BS}\). Это заменяет минимизацию отношения и использование теоремы синусов.

Решение 3. Аналитическое доказательство того, что для минимизации \(BC'/SC'\) нужно \(C'B\perp BS\), таково (остальное решение то же самое). Без ограничения общности поместим точку \(S\) в \((0,0)\), а точку \(B\) в некоторую \((q,0)\) (то есть повернём и сдвинем систему координат так, чтобы это достигалось). Прямая \(SC'\) задаётся как \(y=kx\) при некотором \(k\), поэтому общий вид точки \(C'\) — \((x,kx)\). Тогда отношение длин становится \[R=\frac{\sqrt{(x-q)^2+k^2x^2}}{\sqrt{(k^2+1)x^2}}.\] Дифференцируя его (предпочтительно логарифмически) и находя нуль производной, получаем \(x=q\), то есть \(C'=(q,kq)\), а значит, \(C'B\perp BS\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.