Птицы

Силу Архимеда удобно разбить на две части: выталкивающую силу целиком погружённой балки (она приложена в центре масс) и «недостающую» силу от треугольного участка над водой. Запишите равенство моментов относительно центра масс балки.

Всего 4 птицы.

Рассмотрим баланс моментов относительно центра масс балки. Заметим, что так как балка длинная и тонкая, а другой её конец не поднимается над водой, балка остаётся приближённо горизонтальной, чем мы и воспользуемся при вычислении плеч сил. Во-первых, вес балки приложен в центре масс и создаёт нулевой момент. Второй вклад даёт сила Архимеда, которую можно разделить на две составляющие: направленная вверх выталкивающая сила, как если бы вся балка была погружена (приложена в центре масс, создаёт нулевой момент), и направленная вниз «недостающая» выталкивающая сила треугольного участка над водой (создаёт момент). Эта недостающая выталкивающая сила \(F\) становится настоящей силой Архимеда, когда дополнительные птицы садятся и полностью погружают балку под воду. Если длина балки \(L\), то плечо этой силы — расстояние от центра масс балки до центра масс треугольника, который находится в точке пересечения медиан, на расстоянии \(\tfrac23L\) от птицы. Таким образом, плечо силы \(F\) равно \(\left(\tfrac23-\tfrac12\right)L=\tfrac16L\). Плечо веса птицы \(mg\) равно \(\tfrac12L\), следовательно, \(\tfrac12L\cdot mg=\tfrac16L\cdot F\), то есть \(F=3mg\). Это означает, что дополнительно балка может удержать до 3 ещё птиц, то есть всего 4 птицы.

Замечание: согласно официальному решению, ответ не зависит от того, какая часть балки остаётся в воде, и ни от каких других неизвестных свойств балки. Поэтому фиксация любого из этих параметров не создаёт условия максимума.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.