Принцип экстремума

Часть А. Принцип экстремума в механике (1.5 балла)

Рассмотрим гладкую горизонтальную плоскость \(xy\) (рис. 1). Она разделена на две области \(\mathrm{I}\) и \(\mathrm{II}\) линией \(AB\), которая удовлетворяет уравнению \(x=x_1\). Потенциальная энергия точечной частицы массы \(m\) равна нулю (\(V=0\)) в области \(\mathrm{I}\) и в области \(\mathrm{II}\). Частица начинает двигаться из начала координат \(O\) со скоростью \(v_1\) по прямой, направленной под углом \(\theta_1\) к оси \(x\). Она достигает точки \(P\) в области \(\mathrm{II}\), имея скорость \(v_2\), направленную под углом \(\theta_2\) к оси \(x\). Силой тяжести и релятивистскими эффектами можно пренебречь во всех пунктах этой задачи.

Рис. 1

A1. Получите выражение для \(v_2\) через \(m\), \(v_1\) и \(V_0\).

A2. Выразите \(v_2\) через \(v_1\), \(\theta_1\) и \(\theta_2\).

Определим величину, называемую действием \(A=m \displaystyle\int v(s)\,\mathrm ds\), где \(\mathrm ds\) – бесконечно малый элемент длины вдоль траектории частицы массы \(m\), движущейся со скоростью \(v(s)\). Интеграл берется вдоль траектории. Например, для частицы, движущейся с постоянной скоростью \(v\) по окружности радиуса \(R\), действие \(A\) за один оборот равно \(2\pi mRv\). Можно показать, что для частицы с постоянной энергией \(E\), из всех возможных траекторий между двумя фиксированными точками реализуется та, вдоль которой действие \(A\), определенное выше, имеет экстремум (минимум или максимум). Это утверждение известно как принцип наименьшего действия (ПНД).

A3. ПНД подразумевает, что траектория частицы, движущейся между двумя фиксированными точками в области постоянного потенциала, – это прямая. Пусть координаты двух фиксированных точек \(O\) и \(P\) (рис. 1) – это \((0,0)\) и \((x_0, y_0)\) соответственно; а \((x_1, \alpha)\) – это координаты точки на границе, где частица переходит из области \(\mathrm{I}\) в область \(\mathrm{II}\). Отметим, что величина \(x_1\) фиксирована, и действие \(A\) зависит только от координаты \(\alpha\). Получите выражение для действия \(A(\alpha)\). Используя ПНД, получите соотношение между \(v_1/v_2\) и упомянутыми координатами.

Часть В. Принцип экстремума в оптике (4 балла)

Луч света переходит из среды \(\mathrm{I}\) в среду \(\mathrm{II}\) с показателями преломления \(n_1\) и \(n_2\) соответственно. Эти две среды разделены линией, параллельной оси \(x\). Луч света распространяется под углом \(i_1\) к оси \(y\) в среде \(\mathrm{I}\) и под углом \(i_2\) в среде \(\mathrm{II}\). Чтобы получить траекторию луча, воспользуемся другим принципом экстремума (максимума или минимума) – принципом наименьшего времени Ферма.

Рис. 2

B1. Принцип утверждает, что между двумя фиксированными точками луч света движется по такому пути, что время движения имеет экстремум. Получите соотношение между \(\sin i_1\) и \(\sin i_2\), исходя из принципа Ферма.

На рис. 3 схематически показана траектория лазерного луча, падающего горизонтально на раствор сахара, в котором концентрация сахара уменьшается с высотой. Следовательно, показатель преломления раствора также уменьшается с высотой.

Рис. 3. Сосуд с раствором сахара

B2. Пусть показатель преломления \(n(y)\) зависит только от \(y\). Используя уравнение, полученное в пункте B1, получите выражение для углового коэффициента касательной к пути луча \(\mathrm dy/\mathrm dx\). Выразите его через показатель преломления \(n_0\) (при \(y=0\)) и \(n(y)\).

B3. На рис. 3 показано, что лазерный луч направлен горизонтально из начала координат \((0,0)\) в раствор сахара. Он входит в раствор на расстоянии \(y_0\) от дна сосуда. Считайте, что \(n(y)=n_0-ky\), где \(n_0\) и \(k\) – положительные константы. Получите выражение для траектории лазерного луча в таком сосуде, т.е. найдите, как \(x\) зависит от \(y\) и остальных параметров задачи.

Примечание.\[\int \sec \theta\,\mathrm d \theta=\ln (\sec \theta+\tan \theta)+\operatorname{const},\]где \(\sec \theta=1 / \cos \theta\) или \[\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2-1}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+ \mathrm {const}.\]

B4. Рассчитайте значение \(x_0\) точки, в которой луч падает на дно сосуда. Считайте, что \(y_0=10.0~см\), \(n_0=1.50\), \(k=0.050~см^{-1}\).

Часть С. Принцип экстремума и волновая природа материи (1.8 балла)

Теперь исследуем связь между ПНД и волновой природой движущейся частицы. Для этого предположим, что частица, движущаяся из точки \(O\) в точку \(P\) может выбирать все возможные траектории. Будем искать траекторию, соответствующую взаимоусиливающей интерференции волн де Бройля.

C1. Пусть частица переместилась на бесконечно малое расстояние \(\Delta s\) вдоль своей траектории. Свяжите изменение фазы \(\Delta \varphi\) ее волны де Бройля с изменением действия \(\Delta A\) и постоянной Планка.

Вспомните задачу из части A, где частица движется из точки \(O\) в точку \(P\) (рис. 4). Пусть между двумя областями, вдоль их границы \(AB\), установлена непрозрачная перегородка. В ней есть небольшая щель \(CD\) ширины \(d\), причем \(d\ll (x_0-x_1)\) и \(d\ll x_1\).

Рис. 4

C2. Рассмотрим две крайние траектории \(OCP\) и \(ODP\), причем \(OCP\) соответствует классической траектории, рассмотренной в части A. Найдите в первом приближении разность фаз \(\Delta \varphi _{CD}\) между двумя траекториями.

Часть D. Интерференция волн материи (2.7 балла)

Электронная пушка, находящаяся в точке \(O\), направляет коллимированный пучок электронов на узкую щель в точке \(F\) в непрозрачной перегородке \(A_1B_1\). Перегородка расположена на линии \(x=x_1\), так что \(OFP\) – это прямая. \(P\) – это точка на экране при \(x=x_1\) (рис. 5). Скорость в области \(\mathrm{I}\) равна \(v_1=2.0000 \cdot 10^7 м/с\), угол \(\theta = 10.0000^\circ\). Потенциал в области \(\mathrm{II}\) выбран так, что скорость \(v_2=1.9900\cdot 10^7 м/с\). Расстояние \(x_0-x_1\) равно \(250.00~мм\). Взаимодействием между электронами пренебречь.

Рис. 5

D1. Рассчитайте ускоряющий потенциал \(U_1\), считая, что электроны ускоряются в точке \(O\) из состояния покоя.

D2. В перегородке \(A_1B_1\), ниже щели \(F\) на расстоянии \(215.00~нм\) (\(1 ~нм=10^{-9}~м\)), проделали еще одну такую же щель \(G\). Разность фаз между волнами де Бройля, пришедшими в точку \(P\) через щели \(F\) и \(G\), может быть представлена как \(2\pi \beta\). Вычислите \(\beta\).

D3. Чему равно наименьшее расстояние \(\Delta y\) от точки \(P\) до точки на экране, в которой вероятность обнаружить электрон равна нулю?

Примечание. \(\sin (\theta + \Delta\theta)\approx \sin\theta + \Delta\theta\cos\theta\).

D4. Луч имеет квадратное сечение \(500~нм\times 500~нм\), длина установки – \(2~м\). Какова минимальная плотность потока электронов \(I_{\min}\), если в среднем в установке в любой момент времени имеется хотя бы один электрон? Плотность потока электронов – это количество электронов, проходящих в единицу времени через единичную площадку по нормали к ней.