Самолёт на солнечных батареях

Подъёмная сила и сопротивление — это скорость изменения импульса воздуха, отклонённого крылом на угол \(\varepsilon\). Подъёмная сила должна равняться весу, поэтому \(\varepsilon\) зависит от \(v\); одно сопротивление растёт со скоростью, другое падает — ищите минимум мощности \(Dv\).

(a) Сила \(\vec F\), необходимая для изменения скорости \(\Delta\vec v\) жидкости с массовым расходом \(\dfrac{dm}{dt}\), равна \[\vec F = \Delta\vec v\,\frac{dm}{dt} .\] В данном случае массовый расход \[\frac{dm}{dt} = xl\rho v = \frac\pi4 l^2\rho v .\] Вертикальная составляющая \(\Delta\vec v\): \[\Delta v_V = v\sin\varepsilon .\] Горизонтальная составляющая \(\Delta\vec v\): \[\Delta v_H = v(1 - \cos\varepsilon) .\] Теперь можно записать выражения для подъёмной силы \(L\) и сопротивления \(D_1\) (называемого сопротивлением формы): \[L = \frac\pi4\rho v^2l^2\sin\varepsilon ,\] \[D_1 = \frac\pi4\rho v^2l^2(1 - \cos\varepsilon) .\] Допускаются приближения с \(\varepsilon\) вместо \(\sin\varepsilon\) и т. п.

(b) Мощность, необходимая для прямолинейного горизонтального полёта, равна \[P = Dv = (D_1 + D_2)v .\] Горизонтальная сила сопротивления \(D_2\) (сопротивление трения) равна скорости изменения импульса воздуха, обтекающего крыло, из-за трения: \[D_2 = v_1\frac{dm_1}{dt} - v_2\frac{dm_2}{dt} .\] Поскольку крыло не является ни источником, ни стоком, массовый поток воздуха к крылу \(\left(\dfrac{dm_1}{dt}\right)\) должен быть равен массовому потоку от крыла \(\left(\dfrac{dm_2}{dt}\right)\), поэтому \[\frac{dm_1}{dt} = \frac{dm_2}{dt} = \frac{dm}{dt} = xl\rho v .\] Подставляя \(v_1 = v\) и \(v_2 = v - \Delta v\): \[D_2 = vxl\rho v - (v - \Delta v)xl\rho v = xl\rho v^2 - xl\rho v^2 + v\Delta vxl\rho = xl\rho v\Delta v = \frac{\pi l}{4}l\rho v\Delta v = \frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2 .\] (Это сопротивление обязательно направлено вдоль поверхности крыла; когда крыло наклонено на угол \(\varepsilon\), горизонтальная составляющая равна этому значению, умноженному на \(\cos\varepsilon\): \[\frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2\cos\varepsilon \approx \frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2\left(1 - \frac{\varepsilon^2}{2}\right) \approx \frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2 + O(\varepsilon^2 f) ,\] так что с заданной точностью наш простой ответ верен.)

Полная сила сопротивления \(D = D_1 + D_2\) зависит от угла отклонения \(\varepsilon\) и коэффициента сопротивления \(f\): \[D = \frac\pi4\rho v^2l^2\left((1 - \cos\varepsilon) + \frac fA\right) \approx \frac\pi4\rho v^2l^2\left(\frac12\sin^2\varepsilon + \frac fA\right) .\] В этом приближении \(D\) можно выразить через массу, скорость и размеры крыла самолёта. Заметим, что в горизонтальном полёте подъёмная сила должна быть равна весу самолёта: \[L = Mg = \frac\pi4\rho v^2l^2\sin\varepsilon ; \qquad \sin\varepsilon = \frac{4Mg}{\pi\rho v^2l^2} .\] Теперь можно минимизировать мощность по \(v\) или по \(\varepsilon\); здесь выберем \(v\). \[P = Dv = \frac\pi4\rho v^3l^2\left(\frac fA + \frac12\frac{(4Mg)^2}{(\pi\rho v^2l^2)^2}\right) = \frac\pi4\rho v^3l^2\frac fA + \frac{2(Mg)^2}{\pi\rho vl^2} ,\] \[\frac{dP}{dv} = \frac{3\pi}{4}\rho v^2l^2\frac fA - \frac{2(Mg)^2}{\pi\rho v^2l^2} = 0 \quad\text{при}\quad v = v_0 .\] Скорость полёта при минимальной мощности: \[v_0^4 = \frac{8(Mg)^2A}{3\pi^2\rho^2l^4f} = \frac{8}{3Af}\left(\frac{Mg}{\pi\rho S}\right)^2 .\]

(c) График зависимости мощности от скорости выглядит так:

\[P_{\min} = \frac\pi4\rho v_0^3l^2\left(\frac fA + \frac12\frac{(4Mg)^2}{(\pi\rho v_0^2l^2)^2}\right) = \frac\pi4\rho v_0^3l^2\left(\frac fA + \frac{(4Mg)^2}{2(\pi\rho l^2)^2}\,\frac{3\pi^2\rho^2l^4f}{8(Mg)^2A}\right)\] \[= \pi\rho v_0^3l^2\frac fA = \pi\rho v_0^3Sf .\] Подставляем \(v_0\): \[P_{\min} = \pi\rho Sf\,\frac{8^{3/4}(Mg)^{3/2}}{(3Af)^{3/4}(\pi\rho S)^{3/2}} = \left(\frac{8}{3A}\right)^{3/4} f^{1/4}\frac{(Mg)^{3/2}}{(\pi\rho S)^{1/2}} .\]

(d) Приравняем это доступной мощности \(P_{avail} = IS = P_{\min}\): \[\left(\frac{Mg}{S}\right)^{3/2} = I\left(\frac{3A}{8}\right)^{3/4}\frac{(\pi\rho)^{1/2}}{f^{1/4}} ,\] \[\frac{Mg}{S} = I^{2/3}\left(\frac{3A}{8}\right)^{1/2}\frac{(\pi\rho)^{1/3}}{f^{1/6}} .\] Численные ответы: \[\frac{Mg}{S} = 35{,}6\text{ Н/м}^2 , \qquad v_0 = 8{,}60\text{ м/с}.\]