Вихри в сверхтекучей жидкости

Введение

Сверхтекучесть — это свойство жидкости течь без трения. Повседневный опыт говорит нам, что при движении обычной жидкости (например, воды при комнатной температуре) всегда возникает вязкое трение, приводящее к диссипации энергии так, что поток постепенно замедляется, если он не поддерживается внешними силами. Напротив, сверхтекучая жидкость не теряет кинетической энергии: однажды возбужденное движение сверхтекучей жидкости может продолжаться бесконечно долго. Сверхтекучесть была первоначально экспериментально обнаружена в жидком гелии.

Мы будем рассматривать свойства сверхтекучего гелия при нулевой температуре. Будем считать, что это несжимаемая жидкость с плотностью \(\rho\), которая обладает свойством непрерывности (масса втекающая в заданный бесконечно малый объем, и вытекающая из него, одинакова). Это позволяет утверждать, что поток вектора скорости гелия \(\vec v\) через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Отсюда можно сделать вывод, что скорость сверхтекучей жидкости аналогична индукции магнитного поля. Аналогично линиям индукции магнитного поля, «линии тока» в каждой своей точке направлены по касательной к скорости и их плотность пропорциональна величине скорости.

Истинное сверхтекучее движение является безвихревым, т.е. циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру внутри гелия равна нулю \[\int_L \vec v\cdot \mathrm{d}\vec l = 0.\] Однако это выражение необходимо изменить, если сверхтекучесть отсутствует вдоль тонкой <<вихревой нити>> или <<вихря>>. Толщина нити имеет приблизительно атомарные размеры \(a\), вокруг нее создаются потоки жидкости на больших расстояниях (дальняя зона). Циркуляция вектора скорости вокруг такой нити равна кванту циркуляции \[\left|\int_L \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{l}\right|=2 \pi \kappa,\] и равна нулю если контур не охватывает ни одну вихревую нить (см. Рис. 1). Это подтверждает аналогию между полем векторов скоростей сверхтекучей жидкости и магнитным полем, создаваемым проводами с током: для полей векторов скоростей выполняется принцип суперпозиции (сумма двух полей скоростей также дает поле скоростей), и скорость в любой точке равна (с точностью до размерного коэффициента) индукции магнитного поля, создаваемого электрическими токами, текущими через систему проводов, соответствующих вихревым нитям.

Рис. 1. Вихревая нить (красная линия) в сверхтекучей жидкости (светло голубой фон). Значение циркуляции вектора скорости вдоль траекторий \(L_1\), \(L_2\), \(L_5\) и \(L_6\) равно нулю, циркуляция вдоль \(L_3\) и \(L_4\) равна \(\pm2\pi\kappa\). Важно отметить, что циркуляции вектора скорости вдоль траекторий \(L_3\) и \(L_4\) имеют разные знаки

Задание А. Покоящийся вихрь

Рассмотрим цилиндрический сосуд (радиусом \(R_0\gg a\)) со сверхтекучим гелием и прямой вертикальной вихревой нитью в ее центре (см. Рис. 2).

A1. Нарисуйте линии тока. Найдите скорость \(v\) в точке с радиус-вектором \(\vec r\).

A2. Найдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси \(z(\vec r)\). Ускорение свободного падения \(g\). Поверхностным натяжением можно пренебречь.

Рис. 2. Вихревая нить вдоль оси цилиндрического сосуда

Задание В. Движущиеся вихри

Свободные вихри двигаются в пространстве вместе с потоком. Другими словами, каждый элемент вихревой нити движется со скоростью \(\vec v\), равной скорости жидкости, которая должна была быть на месте этого элемента. Для примера, рассмотрим два вихря, вращающихся противоположно друг другу и расположенных на некотором заданном начальном расстоянии \(r_0\) друг от друга (см. Рис. 3). Каждый вихрь создает движение жидкости со скоростью \(v_0=\kappa/r_0\) в точке, в которой располагается ось другого вихря. В результате, эти два вихря движутся прямолинейно и с постоянной скоростью \(v_0=\kappa/r_0\), поэтому расстояние между ними не изменяется.

Рис. 3. Параллельно движущиеся вихри с противоположной циркуляцией

B1. Рассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии \(r_0\) друг от друга, как показано на Рис. 4. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории.

Рис. 4. Две параллельные вихревые нити с одинаковыми циркуляции

Цилиндрическая емкость с гелием (см. Задание A), заполнена треугольной решеткой (\(u\ll R_0\)) из одинаковых вертикальных вихревых нитей (см. Рис. 5).

Рис. 5. Треугольная решетка вихрей в цилиндрическом сосуде. Вид сверху

B2. Нарисуйте траектории вихрей \(\mathrm A\), \(\mathrm B\) и \(\mathrm C\) (расположенного в центре).

B3. Найдите скорость \(v(\vec r)\) вихря расположенного в точке с радиус-вектором \(\vec r\).

B4. Найдите зависимость расстояния \(\mathrm A\mathrm B(t)\) между вихрями \(\mathrm A\) и \(\mathrm B\) от времени \(t\). Считайте \(\mathrm A\mathrm B(0)\) в начальный момент времени заданным.

B5. Найдите сглаженную форму свободной поверхности гелия \(z(\vec r)\), не учитывая решетчатую структуру.

Задание С. Импульс и энергия

Поле скоростей в дальней зоне, т.е. расположенных на расстоянии намного большем, чем размер вихря дает основной вклад в энергию системы вихрей. Поэтому она нечувствительна к точной структуре вихревых нитей. Сама вихревая нить не может быть правильно описана макроскопической теорией, поэтому мы считаем, что возникающие сингулярности (бесконечности) несущественны. В действительности, величиной энергии внутри тонкой трубки с радиусом \(a\) вокруг вихревой нити можно пренебречь. Вне этой трубки плотность кинетической энергии сверхтекучей жидкости \(\rho v^2/2\) (где \(\rho = \mathrm{const}\)) подобна плотности энергии магнитного поля \(B^2/(2\mu_0)\) — они обе квадратичны по соответствующим переменным. Эта аналогия вместе с соответствием между магнитным полем и скоростью сверхтекучей жидкости, а также вихревыми нитями и токами, облегчает расчет кинетической энергии для заданной системы. Например, для случая круговой проволочной петли c током радиусом \(R\) с радиусом провода \(a\) величина индуктивности \(L \approx \mu_0 R \log (R / a)\), отсюда мы получаем энергию сверхтекучей вихревой петли (вихревого кольца) \[U \approx 2 R \rho \pi^2 \kappa^2 \log (R / a).\] Полный импульс жидкости также определяется распределением скоростей в дальней зоне. Он получается интегрированием плотности импульса \(\rho\vec v\). Снова рассмотрим поток, созданный вихревым кольцом, расположенной в плоскости \(xy\). Из соображений симметрии очевидно, что полный импульс имеет компоненту отличную от нуля только вдоль оси \(z\): \[P=\int \rho v_z \mathrm{d} V=\rho \iint \underbrace{\left(\int v_z \mathrm{d}z\right)}_{q(x, y)} \mathrm{d}x \mathrm{d}y.\] Внутреннее интегрирование это интегрирование вдоль линий направленных параллельно оси \(z\) (см. Рис. 6). Из тождества \[\left|\int_L \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{l}\right|=2 \pi \kappa,\] следует, что внутренний интеграл \[q(x, y)=\int_{L(x, y)} \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{l}\] может принимать только два значения, а именно ноль — для линий проходящих вне кольца и \(2\pi\kappa\) для линий проходящих внутри кольца. Поэтому полный импульс равен \[P=\rho \cdot \pi R^2 \cdot 2 \pi \kappa=2 \pi^2 \rho R^2 \kappa.\]

Рис. 6. Поле скоростей для вихревого кольца и линии интегрирования (обозначены зеленым цветом) для вычисления \(q(x,y)\)

Рис. 7. Вихревая петля в форме близкой к прямоугольной, \(b\ll d\)

C1. Рассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами \(b\times d, b\ll d\), (см. Рис. 7 выше). Укажите направление ее полного импульса \(\vec P\). Найдите величину полного импульса.

C2. Найдите энергию этой петли \(U\).

C3. Предположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние \(b\) в направлении оси \(x\), (см. Рис. 8). Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна \(d\).

Рис. 8. Импульс изменяется всегда, когда вихрь смещается относительно жидкости

Задание D. Захваченные заряды

Если электроны поместить в гелий, то они будут «захвачены» в вихревую нить. Здесь и далее пренебрегаем диэлектрической проницаемостью гелия \((\epsilon=1)\).

Рис. 9. Прямая вихревая нить в однородном электрическом поле

D1. Рассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью \(\lambda<0\) и помещенную в однородное электрическое поле \(\vec E\). Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени.

Вихревое кольцо радиуса \(R_0\), первоначально с однородно распределенным зарядом с линейной плотностью \(\lambda<0\) помещена в однородное электрическое поле \(\vec E\) перпендикулярное к ее плоскости и направленное противоположно вектору полного импульса \(\vec P_0\).

Рис. 10.

(Слева) Вихревое кольцо в однородном электрическом поле

(Справа) Поперечное сечение кольца

D2. Нарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца \(C\). Найдите зависимость радиуса кольца от времени.

D3. Найдите зависимость скорости центра кольца \(v(t)\) от времени.

D4. В некоторый момент времени \(t^*\), когда скорость достигает значения \(v^*=v(t^*)\), электрическое поле выключают. Найдите скорость \(v(t)\) вихревого кольца в моменты времени \(t>t^*\).

Задание E. Влияние границ

Твердые стенки изменяют поле скоростей, создаваемое вихревой нитью, потому что жидкость не может протекать сквозь них. Математически это означает, что составляющая скорости, направленная перпендикулярно к стенке, обращается в ноль на ее поверхности.

Рис. 11. Прямолинейная вихревая нить возле плоской стены

E1. Нарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии \(h_0\) от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени.

Рассмотрим прямолинейный вихрь расположенный в углу на расстоянии \(h_0\) от обеих плоских стенок.

Рис. 12. Прямолинейная вихревая нить в углу

E2. Чему равна начальная скорость \(v_0\) вихря?

E3. Изобразите траекторию вихря.

E4. Чему равна скорость вихря \(v_{\infty}\) спустя очень большой промежуток времени?