Предел Чандрасекара

Равновесие звезды — минимум полной энергии \(E=E_G+E_e\) как функции радиуса \(R\). Нерелятивистские электроны дают \(E_e\propto1/R^2\), и минимум существует при любой массе; в ультрарелятивистском пределе обе энергии пропорциональны \(1/R\), и всё решает знак их суммы — он меняется при критической массе.

II.1) \(E_G=-\dfrac35\dfrac{GM^2}{R}\);  II.2) \(R_{wd}=\dfrac{\hbar^2\pi^3}{3\,G\,m_e\,4^{2/3}}\left(\dfrac3\pi\right)^{7/3}\dfrac{N_e^{5/3}}{M^2}\);  II.3) \(R_{wd}\approx2{,}28\cdot10^{7}\) м \(\approx2{,}28\cdot10^4\) км;  II.4) \(r_{sep}\approx R_{wd}/N_e^{1/3}\approx2{,}1\cdot10^{-12}\) м;  II.5) \(v\approx\dfrac{h}{2m_er_{sep}}\approx1{,}7\cdot10^8\) м/с \(\approx0{,}57c\) (с релятивистским импульсом \(\approx1{,}5\cdot10^8\) м/с);  II.6) \(M_c=\dfrac{3\sqrt{125\pi}}{16\,m_p^2}\left(\dfrac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}\);  II.7) звезда сжимается;  II.8) \(M_c\approx1{,}38\cdot10^{31}\) кг \(\approx6{,}9\,M_S\).

Что происходит. Звезда без ядерных источников энергии держится равновесием двух энергий. Гравитация стремится сжать её: \(E_G<0\) и становится тем более отрицательной, чем меньше радиус. Электроны, подчиняясь принципу Паули, не могут занять одно и то же состояние, и чем теснее они упакованы, тем выше их энергия: \(E_e>0\) растёт при сжатии. Равновесие — минимум полной энергии \(E(R)=E_G+E_e\) по радиусу. Главная идея пунктов II.6–II.8: при сильном сжатии электроны становятся ультрарелятивистскими, их энергия падает с радиусом медленнее (\(\propto1/R\)), чем нерелятивистская (\(\propto1/R^2\)), и обе энергии оказываются одного вида \(\propto1/R\). Тогда равновесие не определяется радиусом, а решает знак суммы коэффициентов, и он зависит только от массы: меньше \(M_c\) электроны держат звезду, больше — нет.

Обозначения. \(R\) и \(M\) — радиус и масса звезды, \(\rho=\dfrac{3M}{4\pi R^3}\) — плотность, \(r\) — расстояние от центра, \(M(r)=\dfrac43\pi r^3\rho\) — масса внутри сферы радиуса \(r\). Звезда состоит из ионизованного водорода (протоны и электроны) и электронейтральна, поэтому число электронов равно числу протонов, \(N_e=N_p\), а масса звезды почти целиком — масса протонов (\(m_p\gg m_e\)): \(N_e\approx M/m_p\). Энергия электронов \(E_e\) — из условия, полная энергия \(E=E_G+E_e\).

II.1. Соберём шар слоями: приносим из бесконечности тонкий слой толщиной \(dr\) на уже собранный шар радиуса \(r\) (рис. 2). Масса слоя \(dm=4\pi r^2\rho\,dr\), масса шара внутри \(M(r)=\frac43\pi r^3\rho\). Потенциальная энергия слоя в поле шара (формулу для шара используем как для точечной массы в центре) равна \[dE_G=-\frac{G\,M(r)\,dm}{r}=-G\,\frac{\frac43\pi r^3\rho\cdot4\pi r^2\rho\,dr}{r}=-\frac{16\pi^2G\rho^2}{3}\,r^4\,dr .\]

Рис. 2. Шар радиуса \(R\) собираем слоями: слой толщиной \(dr\) (затемнён; толщина преувеличена) ложится на уже собранный шар радиуса \(r\) с массой \(M(r)\).

Складываем слои от \(r=0\) до \(r=R\): \[E_G=-\frac{16\pi^2G\rho^2}{3}\int_0^Rr^4\,dr=-\frac{16\pi^2G\rho^2}{15}\,R^5=-\frac{16\pi^2G}{15}\cdot\frac{9M^2}{16\pi^2R^6}\,R^5=-\frac35\,\frac{GM^2}{R}.\] Знак минус — гравитация притягивает: чтобы разобрать звезду, нужно совершить работу.

Проверка: размерность \(GM^2/R\) — Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\cdot\)кг\(^2\)/м = Н\(\cdot\)м = Дж. Коэффициент \(3/5\) меньше единицы: масса в однородном шаре в среднем дальше от центра, чем в точке на поверхности, поэтому энергия по модулю меньше \(GM^2/R\).

II.2. Полная энергия звезды \[E(R)=E_G+E_e=-\frac35\,\frac{GM^2}{R}+\frac{A\,N_e^{5/3}}{R^2},\qquad A=\frac{\hbar^2\pi^3}{10\,m_e\,4^{2/3}}\left(\frac3\pi\right)^{7/3}.\] Равновесие — экстремум энергии по \(R\) при заданных \(M\) и \(N_e\): \[\frac{dE}{dR}=\frac35\,\frac{GM^2}{R^2}-\frac{2A\,N_e^{5/3}}{R^3}=0 .\] Отсюда \[R_{wd}=\frac{10}{3}\,\frac{A\,N_e^{5/3}}{GM^2}=\frac{\hbar^2\pi^3}{3\,G\,m_e\,4^{2/3}}\left(\frac3\pi\right)^{7/3}\frac{N_e^{5/3}}{M^2}.\] Это минимум (рис. 3): вторая производная \(\dfrac{d^2E}{dR^2}=-\dfrac65\,\dfrac{GM^2}{R^3}+\dfrac{6A\,N_e^{5/3}}{R^4}\) при \(A\,N_e^{5/3}=\dfrac3{10}\,GM^2R_{wd}\) равна \(\dfrac35\,\dfrac{GM^2}{R_{wd}^3}>0\). При уменьшении радиуса растёт отталкивание Паули (быстрее гравитации, \(1/R^2\) против \(1/R\)), при росте — гравитация.

Рис. 3. Энергии звезды как функции радиуса (в единицах, где \(R_{wd}=1\)): \(E_e\propto1/R^2\) и \(E_G\propto-1/R\) (пунктир), их сумма \(E=E_G+E_e\) (бирюзовая) имеет минимум при \(R=R_{wd}\).

Проверка: в минимуме \(E_e=\dfrac{A\,N_e^{5/3}}{R_{wd}^2}=\dfrac3{10}\,\dfrac{GM^2}{R_{wd}}=-\dfrac12E_G\) — энергия электронов равна половине модуля гравитационной энергии, как в теореме вириала для частиц, энергия которых \(\propto1/R^2\), в поле притяжения \(\propto1/R\). Чем больше масса, тем меньше радиус: \(R_{wd}\propto M^{-1/3}\) (после подстановки \(N_e\approx M/m_p\) в II.3).

II.3. Подставляем \(N_e\approx M/m_p\): \[R_{wd}=\frac{\hbar^2\pi^3}{3\,G\,m_e\,4^{2/3}}\left(\frac3\pi\right)^{7/3}\frac{M^{5/3}}{m_p^{5/3}M^2}=\frac{\hbar^2\pi^3\,(3/\pi)^{7/3}}{3\,G\,m_e\,4^{2/3}\,m_p^{5/3}}\;M^{-1/3}.\] Числа: \(\hbar=h/2\pi=1{,}055\cdot10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с, \(\hbar^2\pi^3(3/\pi)^{7/3}=3{,}10\cdot10^{-67}\); знаменатель \(3\,G\,m_e\,4^{2/3}m_p^{5/3}=1{,}08\cdot10^{-84}\); отношение \(2{,}87\cdot10^{17}\); \(M_S^{1/3}=1{,}26\cdot10^{10}\): \[R_{wd}=\frac{2{,}87\cdot10^{17}}{1{,}26\cdot10^{10}}\text{ м}\approx2{,}28\cdot10^{7}\text{ м}\approx2{,}28\cdot10^{4}\text{ км}.\] Звезда массы Солнца сжимается до радиуса в несколько радиусов Земли (\(6{,}4\cdot10^3\) км), в 30 раз меньше радиуса Солнца — это масштаб белого карлика.

II.4. Число электронов \(N_e=M_S/m_p=2{,}00\cdot10^{30}/1{,}67\cdot10^{-27}\approx1{,}2\cdot10^{57}\). Считаем распределение однородным: на каждый электрон приходится ячейка объёма порядка \(\frac43\pi r_{sep}^3\), и \(N_e\) таких ячеек заполняют шар объёма \(\frac43\pi R_{wd}^3\). Поэтому \[N_e\,r_{sep}^3\approx R_{wd}^3\;\Rightarrow\;r_{sep}\approx\frac{R_{wd}}{N_e^{1/3}}=\frac{2{,}28\cdot10^7\text{ м}}{1{,}06\cdot10^{19}}\approx2{,}1\cdot10^{-12}\text{ м}.\] (Официальное значение \(2{,}13\cdot10^{-12}\) м; точный счёт даёт \(2{,}15\cdot10^{-12}\) м — различие только в округлении, для оценки порядка оно неважно.)

Рис. 4. Электроны в звезде радиуса \(R\): расстояние между соседними порядка \(r_{sep}\) (схема условная, электронов в звезде \(\sim10^{57}\)).

Проверка: эта длина того же порядка, что комптоновская длина волны электрона \(h/(m_ec)=2{,}4\cdot10^{-12}\) м, и в десятки раз меньше размера атома (\(\sim10^{-10}\) м): вещество сильно сжато, и электронам тесно — это подготовка к пункту II.5.

II.5. Электрон в одномерном ящике длиной \(r_{sep}\): в состоянии с наименьшей энергией в ящике укладывается половина волны де Бройля (рис. 5), \(r_{sep}=\lambda_{dB}/2\): \[\lambda_{dB}=2r_{sep},\qquad p=\frac{h}{\lambda_{dB}}=\frac{h}{2r_{sep}} .\]

Рис. 5. Основное состояние электрона в ящике длиной \(r_{sep}\): на ширине ящика — половина волны де Бройля, \(\lambda_{dB}=2r_{sep}\).

Для оценки скорости берём \(p\approx m_ev\): \[v\approx\frac{h}{2m_er_{sep}}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot2{,}1\cdot10^{-12}}\approx1{,}7\cdot10^{8}\text{ м/с}\approx0{,}57\,c .\] Скорость сравнима со скоростью света, поэтому нерелятивистское выражение для энергии и оценка \(p=m_ev\) становятся грубыми. Учтём поправку: релятивистский импульс \(p=\dfrac{m_ev}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\dfrac{h}{2r_{sep}}\) даёт \[v=\frac{h}{\sqrt{4m_e^2r_{sep}^2+h^2/c^2}}\approx1{,}5\cdot10^{8}\text{ м/с}\approx0{,}49\,c .\] С поправкой скорость остаётся порядка \(c/2\): электроны в белом карлике уже релятивистские, и при дальнейшем сжатии звезды они становятся ультрарелятивистскими (\(E=pc\)) — это и рассматривается в пунктах II.6–II.8.

Обратите внимание: в официальном решении приведено \(v\approx1{,}08\cdot10^8\) м/с (и \(1{,}06\cdot10^8\) м/с с поправкой), но по той же формуле \(v=h/(2m_er_{sep})\) при их \(r_{sep}=2{,}13\cdot10^{-12}\) м получается \(1{,}7\cdot10^8\) м/с; значение \(1{,}08\cdot10^8\) м/с отвечало бы \(r_{sep}\approx3{,}4\cdot10^{-12}\) м. Мы приводим результат счёта по формуле.

Проверка: при любом \(r_{sep}\) релятивистская формула даёт \(v<c\), а при \(h/(2r_{sep})\ll m_ec\) (широкий ящик) второе слагаемое под корнем мало, и она переходит в нерелятивистскую \(v=h/(2m_er_{sep})\).

II.6. В ультрарелятивистском пределе \(E_e^{rel}=K\,\hbar c\,N_e^{4/3}/R\), \(K=\dfrac{\pi^2}{4^{4/3}}\left(\dfrac3\pi\right)^{5/3}\). Полная энергия \[E(R)=\frac1R\left(-\frac35\,GM^2+K\,\hbar c\,N_e^{4/3}\right).\] Обе энергии пропорциональны \(1/R\), поэтому условие \(dE/dR=0\) сводится к \(-\dfrac1{R^2}\bigl(-\frac35GM^2+K\hbar c\,N_e^{4/3}\bigr)=0\): радиус из него выпадает, и равновесие возможно лишь при определённой массе — критической: \[\frac35\,GM_c^2=K\hbar c\left(\frac{M_c}{m_p}\right)^{4/3}\;\Rightarrow\;M_c^{2/3}=\frac{5K\hbar c}{3G\,m_p^{4/3}}\;\Rightarrow\;M_c=\frac{1}{m_p^2}\left(\frac{5K}{3}\right)^{3/2}\left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}.\] Вычислим числовой множитель: \(\dfrac{5K}{3}=\dfrac{5\,\pi^{1/3}\,3^{2/3}}{4^{4/3}}\), поэтому \(\left(\dfrac{5K}3\right)^{3/2}=\dfrac{5^{3/2}\,\pi^{1/2}\cdot3}{4^2}=\dfrac{3\sqrt{125\pi}}{16}\approx3{,}72\): \[M_c=\frac{3\sqrt{125\pi}}{16\,m_p^2}\left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}.\] Смысл: \(\hbar c/G=m_{Pl}^2\) — квадрат массы Планка, так что \(M_c\approx3{,}7\,m_{Pl}^3/m_p^2\) — масса образуется только из констант тяготения, квантов и релятивизма.

II.7. При \(M>M_c\) коэффициент при \(1/R\) в \(E(R)\) отрицателен: \(E=-|C|/R\) (рис. 6). Энергия убывает при уменьшении \(R\), значит, равновесия нет, и звезда сжимается: сжатие выгодно энергетически. Энергия электронов и гравитационная энергия меняются с радиусом одинаково, как \(1/R\), и при \(M>M_c\) модуль гравитационной больше при любом \(R\) — электроны сжатие не остановят. При \(M<M_c\) коэффициент положителен, \(E=+C/R\) убывает при росте \(R\): звезда расширяется (в реальности останавливаясь на радиусе \(R_{wd}\) из II.2, где электроны уже нерелятивистские).

Рис. 6. Энергия \(E(R)=C/R\) в ультрарелятивистском пределе при \(M<M_c\) (\(C>0\), верхняя кривая), \(M=M_c\) (\(C=0\)) и \(M>M_c\) (\(C<0\), нижняя кривая). Стрелки — направление изменения \(R\), при котором энергия убывает.

Проверка: в формуле \(E=C/R\) знак \(C\) определяется разностью \(K\hbar c\,(M/m_p)^{4/3}-\frac35GM^2\); при \(M\to\infty\) преобладает \(M^2\) (гравитация), при малых \(M\) — \(M^{4/3}\) (электроны). Пересечение — как раз \(M_c\).

II.8. Числа: \(\hbar c/G=\dfrac{1{,}055\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{6{,}67\cdot10^{-11}}=4{,}75\cdot10^{-16}\) кг\(^2\), \((\hbar c/G)^{3/2}=1{,}03\cdot10^{-23}\) кг\(^3\), \(m_p^2=2{,}79\cdot10^{-54}\) кг\(^2\): \[M_c=3{,}72\cdot\frac{1{,}03\cdot10^{-23}}{2{,}79\cdot10^{-54}}\text{ кг}\approx1{,}38\cdot10^{31}\text{ кг}\approx6{,}9\,M_S .\] (В официальном решении \(1{,}36\cdot10^{31}\) кг \(=6{,}8\,M_S\) — разница в 1–2 % от округления \(\hbar\) и промежуточных чисел.) Проверка: размерность \((\hbar c/G)^{3/2}/m_p^2\): \((\text{кг}^2)^{3/2}/\text{кг}^2=\) кг. Настоящий предел Чандрасекара для вещества с одним электроном на нуклон (чистый водород) — около \(5{,}8\,M_S\) (знаменитые \(1{,}4\,M_S\) — для двух нуклонов на электрон); наша упрощённая оценка отличается менее чем на 20 %.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.