Фаза Панчаратнама

Рассмотрим установку, схема которой показана на рисунке. Два когерентных монохроматических световых луча (обозначены 1 и 2), распространяющихся в направлении \(z\), падают на две узкие щели, расположенные друг от друга на расстоянии \(d(S_1S_2=d)\). После прохождения щели они интерферируют, и картина интерференции наблюдается на экране \(S\). Расстояние между щелями и экраном \(D\), причем \(D\gg d\). При решении этой задачи не учитывайте дифракционные эффекты на отдельных щелях.

Beam — луч

1. Пусть при \(z=0\) лучи 1 и 2 линейно поляризованы. Соответствующие векторы напряженности электрического поля равны: \[\vec E_1=\hat iE_0\cos(\omega t)\] \[\vec E_2=\hat iE_0\cos(\omega t)\] где \(\hat i\) — единичный вектор, направленный вдоль оси \(x,\omega\) — угловая частота световой волны и \(E_0\) — амплитуда световой волны. Получите выражение для интенсивности света \(I(\theta)\), которая будет наблюдаться на экране, где \(\theta\) — угол, показанный на рис. Выразите ответ через \(\theta, d,E_0, c\) и \(\omega\), где \(c\) — скорость света. Интенсивность пропорциональна усредненному квадрату напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности считайте равным единице. Уменьшением напряженности электрического поля вследствие удаления от щели до любой точки на экране можно пренебречь.

2. Полностью прозрачная стеклянная пластина толщиной \(h\) и показателем преломления \(\mu\) помещается на пути луча 1, перед щелями. Найдите выражение для интенсивности света \(I(\theta)\), которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через \(\theta, d,E_0, c, \omega,\mu, h\).

3. Оптическое устройство, известное как пластинка в Четверть Длины Волны (ЧДВ), помещается на пути луча 1 перед щелями, вместо стеклянной пластинки. Это устройство изменяет поляризацию луча из линейной поляризации \(\vec E_1=\hat iE_0\cos(\omega t)\) на круговую поляризацию: \[\vec E_1=\frac{1}{\sqrt2}[\hat iE_0\cos(\omega t)+\hat jE_0\sin(\omega t)]\] где \(\hat j\) — единичный вектор, направленный вдоль оси \(y\).

Считайте, что пластинка ЧДВ не вносит дополнительной разности хода и что она абсолютно прозрачна. Конец вектора напряженности электрического поля описывает окружность с течением времени. Поэтому говорят, что луч имеет круговую поляризацию.

Найдите выражение для интенсивности света \(I(\theta)\), которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через \(\theta, d,E_0, c\) и \(\omega\).

Чему равна максимальная интенсивность \((I_{max})\)?

Чему равна минимальная интенсивность\((I_{min})\)?

Optical device – оптическое устройство, polarisers - поляризаторы.

4. Теперь рассмотрим экспериментальную установку, показанную на рисунке выше, в которой на пути луча 1 помещены:

— пластинка (ЧТВ) описанная выше,

— линейный поляризатор (обозначен как \(\mathrm I\)), между \(z=a\) и \(z=b\), который пропускает только компоненту напряженности электрического поля, параллельную вектору \((\hat i')\). Единичный вектор \(\hat i'\) определяется как \[\hat i'=\hat i \cos \gamma+\hat j\sin\gamma\]

— еще один линейный поляризатор (обозначен как \(\mathrm {II}\)) между \(z=b\) и \(z=c\), который возвращает поляризацию луча в прежнее состояние (вдоль \(\hat i\)).

Считайте, что поляризаторы не вносят разности хода, и что они полностью прозрачны.

Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после первого поляризатора в точке \(b\) \([\vec E_1(z=b)]\).

Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после второго поляризатора в точке \(c\) \([\vec E_1(z=c)]\).

Чему равна разность фаз (\(\alpha\)) между двумя лучами на щелях?

Наиболее общим видом поляризации является эллиптическая поляризация. Обычно эллиптическую поляризацию описывают в виде суперпозиции двух ортогональных линейных поляризаций, то есть \[\vec E=\hat i 'E_0\cos e \cos (\omega t)+\hat j 'E_0\sin e \sin (\omega t)\] где \(\hat i',\hat j'\) и данная поляризация показаны на риcунке ниже.

Конец вектора напряженности электрического поля с течением времени описывает эллипс. Величина \(e\) называется эллиптичностью и определяется как: \[\tan e=\frac{\text{Меньшая полуось эллипса}}{\text{Большая полуось эллипса}}\] Линейная поляризация и круговая поляризация являются частными случаями эллиптической поляризации. Два параметра: \(\gamma(\in[0,\pi])\) и \(e\left(\in \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\right)\) полностью определяют состояние поляризации.

Состояние поляризации также может быть представлено точкой на сфере единичного радиуса, которая называется сферой Пуанкаре. Поляризация представлена точкой \(P\) на сфере Пуанкаре (см. рис. ниже), широта \(\angle PCD=2e\) и долгота \(\angle ACD=2\gamma\). Здесь \(C\) — центр сферы.

Экватор – Equator

5. Рассмотрим точку на экваторе сферы Пуанкаре.

Запишите выражение для напряженности электрического поля (\(\vec E_{\mathrm {Eq}}\)) в этой точке.

Какова поляризация в этой точке?

6. Рассмотри точку на северном полюсе сферы Пуанкаре.

Запишите выражение для напряженности электрического поля (\(\vec E_{\mathrm{NP}}\)) в этой точке.

Какова поляризация в этой точке?

7. Теперь рассмотрим три состояния поляризации луча 1. Пусть начальная поляризация (при \(z=0\)) представлена точкой \(A_1\) на сфере Пуанкаре; после пластинки ЧДВ, состояние (при \(z=a\)) представлено точкой \(A_2\). После первого поляризатора (при \(z=b\)), состояние поляризации представлено точкой \(A_3\). При \(z=c\) поляризация возвращается в начальное состояние, которая представлена точкой \(A_1\). Укажите эти точки (\(A_1, A_2, A_3\)) на сфере Пуанкаре.

8. Если эти три точки (\(A_1, A_2, A_3\)) соединить на сфере дугами больших кругов, на поверхности сферы получится треугольник. (Большим кругом называется круг, центр которого совпадает с центром сферы). Разность фаз \(\alpha\) и площадь \(S\) треугольника на сфере связаны друг с другом. Выразите \(S\) через \(\alpha\). Эта зависимость была получена Панчаратнамом и разность фаз называется фазой Панчаратнама.