Гравитационные волны и действие гравитации на свет
6/10Часть A
Эта часть посвящена трудностям регистрации гравитационных волн, порождаемых астрономическими событиями. Следует понимать, что взрыв далёкой сверхновой может вызвать флуктуации напряжённости гравитационного поля у поверхности Земли порядка \(10^{-19}\text{ Н}\,\text{кг}^{-1}\).
Модель детектора гравитационных волн (см. рис. 3.1) состоит из двух металлических стержней длиной по 1 м, расположенных под прямым углом друг к другу. Один конец каждого стержня оптически отполирован до плоскости, а другой жёстко закреплён. Положение одного из стержней регулируют так, чтобы сигнал, принимаемый фотоэлементом, был минимальным (см. рис. 3.1).
Рис. 3.1. На рисунке: Half silvered mirrors — полупрозрачные (полупосеребрённые) зеркала, LASER — лазер, Rods — стержни, Photocell — фотоэлемент, Screw to adjust rod — винт для регулировки стержня.
Стержням сообщают короткий резкий импульс с помощью пьезоэлектрического устройства. В результате свободные концы стержней совершают продольные колебания со смещением \(\Delta x_t\), где \[\Delta x_t = ae^{-\mu t}\cos(\omega t + \phi),\] а \(a\), \(\mu\), \(\omega\) и \(\phi\) — постоянные.
(a) Если амплитуда колебаний уменьшается на 20 % за интервал 50 с, определите значение \(\mu\).
(b) Определите также значение \(\omega\), если стержни сделаны из алюминия с плотностью (\(\rho\)) \(2700\text{ кг}\,\text{м}^{-3}\) и модулем Юнга (\(E\)) \(7{,}1\times 10^{10}\) Па.
(c) Сделать стержни точно одинаковой длины невозможно, поэтому сигнал фотоэлемента имеет частоту биений 0,005 Гц. Какова разность длин стержней?
(d) Для стержня длиной \(l\) выведите алгебраическое выражение для изменения длины \(\Delta l\), вызванного изменением \(\Delta g\) напряжённости гравитационного поля \(g\), через \(l\) и другие постоянные материала стержня.
(e) Свет, создаваемый лазером, монохроматический с длиной волны 656 нм. Если минимальный регистрируемый сдвиг интерференционных полос составляет \(10^{-4}\) длины волны лазера, каково минимальное значение \(l\), необходимое для того, чтобы такая система могла регистрировать изменения \(g\) величиной \(10^{-19}\text{ Н}\,\text{кг}^{-1}\)?
Ненаправленный вариант детектора гравитационных волн состоит из шара из медного сплава массой 1168 кг, подвешенного в вакууме на виброизолирующей системе. К шару прикреплены преобразователи, содержащие настроенные колебательные контуры, для регистрации изменений его размеров. Однако преобразователи будут улавливать и все посторонние колебания, вызванные, например, тепловыми эффектами, и шум от электрических наводок.
(f) Чтобы уменьшить колебания, вызванные тепловыми эффектами, шар поддерживают при температуре 100 мК. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний атомов при охлаждении установки от 300 К?
(g) Шар сначала охлаждают до 4,2 К с помощью жидкого азота и жидкого гелия. Затем температуру \(T\) понижают до 100 мК с помощью холодильного процесса, отбирающего энергию у системы со средней скоростью 1 мВт. Учитывая, что удельная теплоёмкость \(s\) медного сплава при этих низких температурах прямо пропорциональна \(T^3\), оцените время охлаждения системы от 4,2 К до 100 мК, если \(s = 0{,}072\text{ Дж}\,\text{кг}^{-1}\,\text{К}^{-1}\) при 4,2 К.
Часть B
Эта часть посвящена влиянию гравитационного поля на распространение света в пространстве.
(a) Фотон, испущенный с поверхности Солнца (масса \(M\), радиус \(R\)), испытывает красное смещение. Приписав энергии фотона эквивалентную массу покоя, примените ньютонову теорию тяготения, чтобы показать, что эффективная (или измеряемая) частота фотона на бесконечности уменьшается (смещается в красную сторону) в \((1 - GM/Rc^2)\) раз.
(b) Уменьшение частоты фотона эквивалентно увеличению его периода, или, если использовать фотон как эталонные часы, замедлению времени. Кроме того, можно показать, что замедление времени всегда сопровождается сокращением единицы длины в том же отношении.
Попробуем теперь изучить, как это влияет на распространение света вблизи Солнца. Определим сначала эффективный показатель преломления \(n_r\) в точке на расстоянии \(r\) от центра Солнца. Пусть \[n_r = \frac{c}{c'_r},\] где \(c\) — скорость света, измеренная в системе координат вдали от гравитационного влияния Солнца (\(r \to \infty\)), а \(c'_r\) — скорость света, измеренная в системе координат на расстоянии \(r\) от центра Солнца.
Покажите, что \(n_r\) можно приближённо записать в виде \[n_r = 1 + \frac{\alpha GM}{rc^2}\] при малых \(GM/rc^2\), где \(\alpha\) — постоянная, которую нужно определить.
(c) Используя это выражение для \(n_r\), вычислите в радианах отклонение светового луча от прямолинейного пути, когда он проходит у края Солнца.
Данные:
Гравитационная постоянная \(G = 6{,}67\times 10^{-11}\text{ Н}\,\text{м}^2\,\text{кг}^{-2}\).
Масса Солнца \(M = 1{,}99\times 10^{30}\) кг.
Радиус Солнца \(R = 6{,}95\times 10^8\) м.
Скорость света \(c = 3{,}00\times 10^8\text{ м}\,\text{с}^{-1}\).
Может также понадобиться интеграл \[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{2}{a^2}.\]
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаA(b–e): основная частота стержня с закреплённым концом соответствует длине волны \(4l\), скорость звука \(\sqrt{E/\rho}\); изменение \(g\) растягивает стержень под его собственным весом. B: при малых \(GM/rc^2\) показатель преломления близок к 1 — используйте закон преломления для слоёв и проинтегрируйте малые повороты луча вдоль прямой.
ОтветA: (a) \(\mu = 4{,}5\times 10^{-3}\text{ с}^{-1}\); (b) \(\omega = 8{,}1\times 10^3\text{ рад}\cdot\text{с}^{-1}\); (c) \(\delta l = 3{,}8\times 10^{-6}\) м; (d) \(\Delta l = (\rho\Delta g/2E)l^2\); (e) \(l = 9{,}2\times 10^7\) м; (f), (g) — в официальном решении нет. B: (b) \(n_r = 1 + 2GM/rc^2\), т. е. \(\alpha = 2\); (c) \(\xi = \dfrac{4GM}{Rc^2} = 8{,}4\times 10^{-6}\) рад.
РешениеA.
a) \(\Delta x_t = ae^{-\mu t}\cos(\omega t + \phi)\), \(0{,}8 = e^{-50\mu} \Rightarrow \mu = 4{,}5\times 10^{-3}\text{ с}^{-1}\).
b) \(\upsilon = (E/\rho)^{1/2} = (7{,}1\times 10^{10}/2700)^{1/2} = 5100\text{ м}\cdot\text{с}^{-1}\).
На основной частоте \(\lambda_{rod} = 4l = 4\) м.
\(f = 5100/4 = 1{,}3\times 10^3\) Гц.
\(\omega = 2\pi f = 8{,}1\times 10^3\text{ рад}\cdot\text{с}^{-1}\).
c) \(\upsilon = f\lambda_{rod}\), \(\delta\lambda_{rod}/\lambda_{rod} = (-)\delta f/f \Rightarrow \delta l/l\).
\(\delta l = l\cdot(\delta f/f)\).
\(\delta l = 1\times(5{,}0\times 10^{-3}/1{,}3\times 10^3) = 3{,}8\times 10^{-6}\) м.
d) Изменение силы тяжести, действующей на часть стержня на расстоянии \(x\) от свободного конца, \(= m\Delta g\), где \(m = \rho xA\), \(A\) — площадь поперечного сечения стержня.
Изменение механического напряжения \(= m\Delta g/A = \rho x\Delta g\).
Изменение относительной деформации \(= \delta(dx)/dx = \rho x\Delta g/E\);
т. е. \(dx \to (1 + \rho x\Delta g/E)dx \Rightarrow \Delta l = (\rho\Delta g/2E)l^2\).
e) На основной частоте \(\lambda_{rod} = 4l \Rightarrow \Delta l = \Delta\lambda_{rod}/4\);
для \(\Delta\lambda_{rod} = 656\text{ нм}/10^4 \Rightarrow \Delta l = 656\text{ нм}/(4\times 10^4)\).
\(\Delta l = 656\text{ нм}/(4\times 10^4) = (\rho\Delta g/2E)l^2\).
\(\Delta l = (2700\times 10^{-19}/14\times 10^{10})\,l^2 \Rightarrow l = 9{,}2\times 10^7\) м.
B.
a) \(mc^2 = hf \Rightarrow m = hf/c^2\),
\(hf' = hf - GMm/R\),
\(\Rightarrow hf' = hf(1 - GM/Rc^2)\), \(\therefore f' = f(1 - GM/Rc^2)\).
b) \(n_r = c/c(1 - GM/rc^2)^2\),
\(n_r = 1 + 2GM/rc^2\) при малых \(GM/rc^2\); т. е. \(\alpha = 2\).
c)
На рисунке: path — путь (луча), Sun — Солнце.
По закону Снеллиуса: \(n(r + \delta r)\sin\theta = n(r)\sin(\theta - \delta\xi)\),
\((n(r) + (dn/dr)\delta r)\sin\theta = n(r)\sin\theta - n(r)\cos\theta\,\delta\xi\),
\((dn/dr)\delta r\sin\theta = -n(r)\cos\theta\,\delta\xi\).
Далее \(n(r) = 1 + 2GM/rc^2\), поэтому \((dn/dr) = -2GM/c^2r^2\),
и \((2GM/c^2r^2)\sin\theta\,\delta r = n(r)\cos\theta\,\delta\xi\).
Отсюда \(\delta\xi = (2GM/c^2r^2)\tan\theta\,(\delta r/n) \approx (2GM\tan\theta/c^2r^2)\delta r\).
Далее \(r^2 = x^2 + R^2\), поэтому \(r\,dr = x\,dx\). \[\int d\xi = \frac{2GM}{c^2}\int\frac{\tan\theta\,dr}{r^2} = \frac{2GM}{c^2}\int\frac{\tan\theta\,r\,dr}{r^3} = \frac{2GMR}{c^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}},\] \[\xi = \frac{4GM}{Rc^2}\text{ радиан} = 8{,}4\times 10^{-6}\text{ радиан}.\]
Похожие задачи
- Колебания с сухим трением МОШ 2002/03, 11 кл.
- Колебания грузов на пружине ВсОШ 1992/2001, 11 кл.
- Колебания в вязкой среде МОШ 1999/00, 11 кл.
- Затухающие колебания ВсОШ 2014/15, 10 кл.
- Наклонённый маятник ВсОШ 2017/18, 11 кл.
- Затухающие колебания бруска с трением «Шаг в будущее» 2021/22, 11 кл.