Скрипящая дверь

Решение

A1. Колебания происходят под действием постоянной силы трения скольжения. Таким образом, это простые гармонические колебания со сдвинутым положением равновесия. Угловая частота колебаний равна:\[\omega_0=\sqrt{k/m}.\]Таким образом, период колебаний:

Ответ:

\[T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt\frac mk\]

Начальная скорость тела относительно положения равновесия:\[\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)_0=u-v_0.\]Тогда амплитуда колебаний:

Ответ:

\[A=\frac1{\omega_0}\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)_0=(u-v_0)\sqrt\frac mk\]

A2. График – синусоида, как показано на рисунке ниже:

Ответ:

Начальное положение задаётся выражением:\[x_0=\frac{\mu_kmg}{k},\]оно же является положением равновесия. От участника не требуется явно находить это значение, однако требуется понимание, что оно положительно.

A3. График будет состоять из областей скольжения и застоя. Области скольжения синусоидальные и переходят в горизонтальные области застоя с разрывом первой производной в точках пересечения. Максимумы скорости будут выше прямой \(v=u\), поскольку \(u\) – средняя скорость. Более того, максимумы будут выше \(v=2u\), однако этого от участников не требуется.

Ответ:

A4. В системе отсчёта дальнего конца пружины положение тела будет равно удлинению пружины \(x\) с противоположным знаком. Движение представляет собой колебания в окрестности положения равновесия \(x_0\). В областях скольжения движение будет происходить по синусоиде, а в областях застоя – с постоянной скоростью \(-u\). Режимы движения меняются в точке, в которой сила упругости уравновешивает силу трения покоя, т.е.:\[x_s=\frac{\mu_smg}{k},\]а также в точке, симметричной \(x_s\) относительно \(x_0\).

Таким образом, среднее удлинение пружины равно удлинению в положении равновесия:

Ответ:

\[\bar x=x_0=\frac{\mu_kmg}{k}\]

A5. В той же системе отсчёта найдём перемещение тела за время, проведённое в режиме застоя:\[2(x_s-x_0)=2(\mu_s-\mu_k)mg/k.\]Поскольку скорость тела в этом режиме равна \(u\), тело проводит в режиме застоя:\[t_{stick}=\frac{2(\mu_s-\mu_k)mg}{ku}.\]Движение в режиме скольжения происходит по синусоиде со смещением \(x_0\) и угловой частотой \(\omega_0\). Фаза синусоиды \(\varphi\) в момент перехода в режим скольжения задаётся отношением положения и скорости тела относительно \(x_0\):\[\operatorname{tg}\varphi=\frac{\omega_0(x_s-x_0)}{u}=\frac{(\mu_s-\mu_k)g}{u}\sqrt\frac mk.\]Таким образом, тело проводит в режиме скольжения:\[t_{slip}=T_0\left(1-\frac\varphi\pi\right)=2\sqrt\frac mk\left(\pi-\operatorname{arctg}\left(\frac{(\mu_s-\mu_k)g}{u}\sqrt\frac mk\right)\right).\]Итого период колебаний:

Ответ:

\[T=t_{stick}+t_{slip}=2\sqrt\frac mk\left(\frac{(\mu_s-\mu_k)g}{u}\sqrt\frac mk\pi-\operatorname{arctg}\left(\frac{(\mu_s-\mu_k)g}{u}\sqrt\frac mk\right)\right)\]

A6. Продолжаем работать в той же системе отсчёта. Пока тело движется в режиме скольжения, амплитуда его движения немного уменьшится из-за потерь. В начале движения скорость равна \(-u\), а фаза синусоиды равна \(\varphi\), найденной в предыдущем пункте. Таким образом, амплитуда скорости в начале равна \(u/\cos\varphi\). Чтобы движение перешло в режим застоя, скорость должна вернуться к значению \(-u\), однако фаза синусоиды при этом будет больше \(2\pi-\varphi\) из-за потерь. Иными словами, потери увеличивают продолжительность движения в режиме скольжения. Граничный случай – достижение телом скорости \(-u\) строго в положении равновесия (фаза \(2\pi\)). Действительно, если в положении равновесия скорость будет меньше \(-u\), тело продолжит движение по затухающей синусоиде, больше никогда не переходя в режим застоя.

Поскольку режим застоя устраняется даже небольшими потерями \(\eta\ll1\), то относительная продолжительность движения в режиме застоя также должна быть малой. Это соответствует большой скорости \(u\). При этом движение с проскальзыванием длится почти весь период колебаний, и амплитуда этих колебаний за это время уменьшится на относительную величину \(\eta\) с хорошей точностью. Граничному случаю соответствует ситуация, при котором \(u/\cos\varphi\) уменьшается до \(u\), таким образом:\[\eta=\left|\frac{\Delta A}A\right|=\left|\frac{u/\cos\varphi-u}{u/\cos\varphi}\right|=1-\cos\varphi\approx\varphi^2/2.\]Упрощая выражение для \(\varphi\) в приближении малых углов, получим:\[\eta=\frac{m(\mu_s-\mu_k)^2g^2}{2ku_c^2}\implies\]

Ответ:

\[u_c=(\mu_s-\mu_k)g\sqrt{\frac{m}{2k\eta}}\]

Иначе можно вывести \(u_c\), явно записав начальную амплитуду \(A\) гармонических колебаний:\[u_c=\omega_0A(1-\eta),\quad A^2=(x_s-x_0)^2+\frac mk u_c^2.\]Наконец, можно просто расписать потери энергии \(|\Delta E/E|=2\eta\) как:\[2\eta\cdot \frac12mu_c^2=\frac12 k(x_s-x_0)^2.\]

B1. При малых углах поворота двери основание цилиндра остаётся неподвижным. Когда цилиндр деформируется на угол \(\alpha\), его верхнее основание проворачивается на величину \(h\alpha\). Это соответствует углу поворота двери \(\theta=h\alpha/r\). Упругая сила сдвиговой деформации, действующая на участок нижнего основания цилиндра площадью \(\mathrm dA\), равна:\[\mathrm dF=G\alpha\,\mathrm dA=\frac{Gr}{h}\theta\,\mathrm dA.\]Это создаёт момент силы:\[\mathrm d\tau=r\,\mathrm dF=\frac{Gr^2}{h}\theta\,\mathrm dA.\]Полный момент силы:\[\tau=\frac{Gr^2}{h}\theta\cdot2\pi r\Delta r=\frac{2\pi Gr^3\Delta r}{h}\theta.\]Таким образом, коэффициент кручения будет равен:

Ответ:

\[\kappa=\frac{2\pi Gr^3\Delta r}{h}\approx2000~Н\cdot м\]

Численное значение не требуется от участников. Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе \(\Delta r\ll r\).

B2. Пренебрегая продолжительностью движения в режиме застоя, получим по аналогии с выводом в части A:\[t_{stick}=\frac{2(\mu_s-\mu_k)Mgr}{\kappa\Omega}\implies\]

Ответ:

\[\Omega=\frac{2(\mu_s-\mu_k)Mgr}{\kappa t_{stick}}=\frac{2(\mu_s-\mu_k)Mgrf}{\kappa}=\frac{(\mu_s-\mu_k)Mghf}{\pi Gr^2\Delta r}=5.6\cdot10^{-3}~с^{-1}.\]

Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе \(\Delta r\ll r\). Численные ответы могут отличаться, поскольку \(\Delta r/r=0.2\) нельзя считать очень малой величиной, поэтому численные ответы необходимо проверять, подставляя значения из условия в ответ, приведённый участником.

Перевод: pho.rs.