Парадокс Шокли-Джеймса

Парадокс Шокли-Джеймса

В 1905 году Альберт Эйнштейн предложил специальную теорию относительности, которая разрешила противоречия между классической механикой Ньютона и теорией электромагнетизма Максвелла. Детальная разработка теории привела к разрешению многих очевидных парадоксов. В то время, обсуждение сосредоточилось главным образом на проблеме распространения электромагнитных волн.

В этой задаче мы разрешим парадокс другого типа. Для довольно простой системы зарядов, рассмотренной В. Шокли и Р.П. Джеймсом в 1967 году, выполнение закона сохранения импульса требует тщательного релятивистского анализа. Если заряженная частица расположена около магнита с изменяющейся намагниченностью (то есть изменяющимся магнитным полем), то на заряд действует электрическая сила, но нет никакой очевидной противодействующей силы, приложенной к магниту. Процесс изменения намагниченности может быть сделан достаточно медленным, так что электромагнитным излучением (и уносимым им импульсом) можно пренебречь. Таким образом, мы получаем нечто вроде орудия без отдачи.

В нашем анализе достаточно простой системы мы продемонстрируем, что в релятивистской механике составное тело может получить ненулевой момент импульса, оставаясь в то же время в состоянии покоя.

Часть A. Вычисление импульса точечной заряженной частицы (3.3 балла)

Рассмотрим круговой виток радиуса \(r\), по которому течет ток \(I_1\), и второй, гораздо больший круговой виток радиуса \(R \gg r\), концентрический с первым (то есть центры окружностей совпадают) и лежащий в той же самой плоскости.

A1. Ток \(I_2\), протекающий через виток 2 (больший виток), создает магнитный поток \(\Phi_{B1}\) через виток 1. Найдите отношение \(M_{21} = \Phi_{B1}/I_2\). Его называют коэффициентом взаимной индукции.

B2. Учитывая, что коэффициенты взаимной индукции равны \(M_{12} = \Phi_{B2}/I_1 = M_{21}\), то есть виток 1 тоже создает пропорциональный магнитный поток через виток 2, получите выражение для ЭДС \(\varepsilon_2\), индуцированной в большей петле в результате изменения \(\dot{I}_1 = dI_1/dt\) электрического тока в меньшей петле. Самоиндукцией большего витка 2 пренебречь.

Указание: индуцированная ЭДС по модулю скорости изменения магнитного потока через виток.

A3. ЭДС индукции, найденная вами в пункте A2, появляется благодаря касательной к витку составляющей вихревого электрического поля. Получите выражение для этой касательной составляющей электрического поля \(E\) в витке радиуса \(R\) как функцию скорости изменения тока \(\dot{I}_1\).

Теперь удалим больший виток и вместо него рассмотрим массивный точечный заряд \(Q\), расположенный на том же расстоянии \(R\) от витка 1, как показано в рисунке 1. Считайте, что точечный заряд не успевает значительно сместится за время изменения тока в витке.

Круговой виток и точечный заряд \(Q\)

A4. Найдите полный импульс \(\Delta p\), полученный точечным зарядом за время, в течении которого ток в малом витке изменяется от начального значения \(I_1 = I\) до конечного значения \(I_1 = 0\).

Часть B. Вычисление импульса отдачи кругового витка с током (4.4 балла)

Исследуем происхождение импульса отдачи, используя петлю другой, не круглой формы.

B1. Для начала рассмотрим прямолинейный проводник длиной \(l\) и поперечным сечением \(A\) по которому протекает электрический ток силой \(I\). Ток обусловлен потоком заряженных частиц с массой покоя \(m\) и зарядом \(q\), распределенных однородно в проводнике с концентрацией \(n\). Считайте, что заряженные частицы движутся в проводнике с одной и той же скоростью. Найдите полный релятивистский импульс \(p\) заряженных частиц в проводнике.

Теперь рассмотрим квадратный виток со стороной \(l\). На расстоянии \(R \gg l\) от витка поместим точечный заряд \(Q\); см. рисунок 2. Пусть в витке течет ток \(I\). Считайте, что каждый проводник в витке в целом нейтрален. Считайте, что носители заряда в проводнике могут двигаться свободно вдоль витка не взаимодействуя с кристаллической решеткой, а сталкиваясь упруго со стенками проводника и делая таким образом повороты в углах витка. Взаимодействием между носителями заряда полностью пренебречь. Предположим также, что все носители заряда в каждой стороне витка всегда двигаются с одной и той же скоростью. Петля достаточно тяжела, так что ее движением можно пренебречь.

B2. Вычислите полный импульс \(p_{hid}\) носителей в витке. Его называют "скрытым" импульсом.

Квадратный виток с током и точечный заряд \(Q\).

Когда ток прекращается, то этот "скрытый" импульс передается витку, и он получает импульс, равный со знаком минус импульсу, приобретенному точечным зарядом \(Q\). Это и есть недостающая отдача, которую мы искали (заметьте, что в начальном состоянии импульс также сосредоточен в электромагнитном поле, что важно для выполнения закона сохранения импульса всей системы).

Часть C. Подведение итогов (2.3 балла)

C1. Виток с током часто характеризуются магнитным моментом \(\mu = I S\), где \(I\) есть ток и \(S\) есть площадь поперечного сечения витка. Выразите ответ, полученный в пункте A4 через \(\mu\), \(r\), \(R\) и \(Q\). Аналогично, выразите полученный в пункте B2 ответ через \(\mu\), \(l\), \(R\) и \(Q\). Помните, что электрические и магнитные постоянные связаны соотношением:

\[\frac{4 \pi k}{\mu_0} = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2,\]

где \(c\) – скорость света.

С2. В более реалистической модели, виток – это проводник, так что электрическое поле заряженной частицы \(Q\) не может в него проникнуть. Предположим, что электрический ток по прежнему обусловлен носителями заряда. Определите, какое из следующих утверждений правдиво или ложно, и укажите правильный ответ в Листе Ответов.

Внимание: вы можете оставить какое-то утверждение без ответа, но если вы дадите хотя бы один неправильный ответ, то вы не получите никаких баллов за весь пункт C2.

I) Полный импульс витка с током и носителями зарядов равен нулю.

II) Поскольку ток в витке изменяется от \(I\) до нуля, значит носители заряда в проводнике замедляются, что приводит к появлению индуцированного тока в самом витке. Из-за этих индуцированных токов заряженная частица \(Q\) не получает никакого импульса.

III) При изменении силы тока в витке от \(I\) до нуля, внешний точечный заряд вызывает перераспределение носителей заряда по сечению проводника, что приводит к появлению дополнительной электрической силы. Таким образом, виток получает импульс, найденный в пункте B2.