Праздничный шарик

Натяжение плёнки уравновешивает избыточное давление воздуха, поэтому \(P-P_0\) выражается через \(\sigma_t\) и радиус. Скачок объёма происходит там, где состояния «до» и «после» энергетически равноценны, то есть площади над уровнем \(P_c\) и под ним равны; в диапазоне между \(V_1\) и \(V_2\) шарик состоит из двух областей с давлением \(P_c\), а меняются только их доли.

a) \(\sigma_L/\sigma_t=1/2\);  b) \(P=P_0+k\left(\dfrac{1}{r_0}-\sqrt{\dfrac{\pi L_0}{V}}\right)\) при \(V\ge\pi r_0^2L_0\), \(P_{\max}=P_0+\dfrac{k}{r_0}\) (при \(V\to\infty\));  c) локальный максимум \(P-P_0\approx3{,}05\) кПа при \(r\approx0{,}9\) см, локальный минимум \(\approx1{,}25\) кПа при \(r\approx2{,}5\) см; \(P-P_0(1~\text{см})\approx2{,}9\) кПа (\(\approx3\) кПа), \(P-P_0(2{,}5~\text{см})\approx1{,}2\) кПа;  d) \(P_c=P_0+ac\), \(V_1=u-\sqrt b\), \(V_2=u+\sqrt b\);  e) график: подъём до \(V_1\), горизонтальная площадка \(P=P_c\) от \(V_1\) до \(V_2\), дальше подъём;  f) \(L_{\text{тонк}}=\dfrac{V_1(V_2-V)}{\pi r_1^2(V_2-V_1)}\);  g) \(\dfrac{\Delta W}{\Delta L_{\text{тонк}}}=\dfrac{\pi r_1^2P_c(V_2-V_1)}{V_1}\).

Что происходит. Растянутая резиновая плёнка шарика тянет сама себя вдоль поверхности, и эти натяжения уравновешивают избыточное давление воздуха \(P-P_0\). Поэтому давление в шарике связано с натяжением плёнки и радиусом одной формулой, и вся задача сводится к форме зависимости \(P(V)\). В законе Гука она монотонна; у реального шарика она растёт, падает и снова растёт. Для такой немонотонной зависимости главная идея пунктов (d)–(g) — энергетическое сравнение состояний при заданном давлении источника: скачок происходит там, где площади под кривой и над линией \(P_c\) равны (правило равных площадей), а при заданном объёме шарик выгодно расслаивается на две области, в каждой из которых давление равно \(P_c\).

Обозначения. \(r\) — радиус надутого цилиндра, \(L\) — его длина, \(V\) — объём воздуха внутри шарика, \(P\) — давление этого воздуха, \(P_0\) — атмосферное давление. Натяжения \(\sigma_t\) и \(\sigma_L\) — силы на единицу длины разреза плёнки: \(\sigma_L\) действует поперёк разреза плоскостью, перпендикулярной оси, \(\sigma_t\) — поперёк разреза плоскостью, проходящей через ось. Эффектами у концов шарика пренебрегаем.

a. Концы шарика свободны, внешних сил вдоль оси нет, поэтому оба натяжения определяются только давлением. Запишем условие равновесия двумя способами.

Продольное натяжение. Разрежем шарик плоскостью, перпендикулярной оси, и рассмотрим заднюю часть вместе с воздухом внутри (рис. 4, слева). На неё вдоль оси действуют три силы. Воздух передней части давит на сечение изнутри с силой \(P\pi r^2\) в сторону заднего конца. Атмосфера давит на заднюю часть снаружи; равнодействующая равномерного давления на поверхность равна давлению, умноженному на площадь её проекции на плоскость сечения, то есть \(P_0\pi r^2\), и направлена навстречу. Плёнка передней части тянет разрез по окружности длиной \(2\pi r\) с силой \(2\pi r\,\sigma_L\) в сторону передней части. Равновесие вдоль оси: \[(P-P_0)\,\pi r^2=2\pi r\,\sigma_L .\]

Рис. 4. Силы на заднюю часть шарика (слева, вид сбоку) и на половину цилиндра длиной \(x\) (справа, вид вдоль оси). Бирюзовые стрелки — натяжение плёнки, чёрные — избыточное давление воздуха.

Поперечное натяжение. Разрежем цилиндр плоскостью, проходящей через ось, и рассмотрим половину длиной \(x\) вместе с воздухом (рис. 4, справа). Избыточное давление действует на плоскость разреза площадью \(2r\cdot x\) и направлено от неё, плёнка тянет два края разреза длиной \(x\) каждый с силой \(\sigma_t x\) к плоскости. Равновесие в проекции на перпендикуляр к плоскости: \[(P-P_0)\cdot 2rx=2\sigma_t x .\]

Из двух уравнений \[\sigma_t=(P-P_0)\,r,\qquad \sigma_L=\frac{(P-P_0)\,r}{2},\qquad \frac{\sigma_L}{\sigma_t}=\frac12 .\] Обратите внимание: здесь не использована упругость плёнки — оба соотношения следуют только из равновесия. Поэтому \(\sigma_t=(P-P_0)\,r\) верно для любой зависимости \(\sigma_t(r)\) и любого изменения длины шарика, и мы будем пользоваться им в пунктах (b)–(d).

b. По формуле из пункта (a) давление выражается через натяжение (1): \[P-P_0=\frac{\sigma_t}{r}=\frac{k\,(r-r_0)}{r_0\,r}=k\left(\frac1{r_0}-\frac1r\right).\] Длина шарика по условию постоянна, \(L=L_0\), поэтому \(V=\pi r^2L_0\) и \(r=\sqrt{V/(\pi L_0)}\). Подставляем: \[P=P_0+k\left(\frac1{r_0}-\sqrt{\frac{\pi L_0}{V}}\right),\qquad V\ge V_0=\pi r_0^2L_0 .\] При \(V=V_0\) давление равно атмосферному (плёнка не растянута). Производная \(dP/dV=\dfrac{k}{2}\sqrt{\pi L_0}\,V^{-3/2}>0\), вторая производная отрицательна: график растёт всё медленнее и стремится к горизонтальной асимптоте (рис. 5). При \(V\to\infty\) корень обращается в ноль, и давление стремится к \[P_{\max}=P_0+\frac{k}{r_0}.\] Это верхний предел: в приближении Гука давление надувания никогда не превзойдёт \(P_0+k/r_0\), и никакого максимума с последующим спадом у кривой нет.

Рис. 5. График \(P-P_0\) как функции \(V\) в приближении Гука: рост от нуля при \(V_0\) к асимптоте \(k/r_0\).

Проверка: размерность \(k/r_0\) — Н/м\({}^2\) = Па. При малом раздувании \(r-r_0\ll r_0\) получаем \(P-P_0\approx k(r-r_0)/r_0^2\) — линейный рост, как для закона Гука.

c. Для любой зависимости \(\sigma_t(r)\) и любого изменения длины давление равно \(P-P_0=\sigma_t/r\) (пункт a). Объём \(V=\pi r^2L\) растёт вместе с \(r\), потому что и радиус, и длина шарика не убывают при надувании. Значит, \(P-P_0\) как функция \(V\) имеет ту же форму, что \(\sigma_t(r)/r\) как функция \(r\), только ось абсцисс неравномерно растянута. Поэтому строим \(\sigma_t(r)/r\) по рис. 2.

Значения при \(r=1\) см и \(r=2{,}5\) см. По графику \(\sigma_t(1~\text{см})\approx29\) Н/м, \(\sigma_t(2{,}5~\text{см})\approx31\) Н/м. Отсюда \[P-P_0\,(1~\text{см})=\frac{29~\text{Н/м}}{0{,}010~\text{м}}\approx2{,}9~\text{кПа}\approx3~\text{кПа},\qquad P-P_0\,(2{,}5~\text{см})=\frac{31~\text{Н/м}}{0{,}025~\text{м}}\approx1{,}2~\text{кПа}.\]

Локальные экстремумы. Величина \(\sigma_t/r\) экстремальна там, где \(\dfrac{d}{dr}\dfrac{\sigma_t}{r}=0\), то есть \(\dfrac{d\sigma_t}{dr}=\dfrac{\sigma_t}{r}\). Геометрически: прямая из начала координат касается кривой \(\sigma_t(r)\) (рис. 6); наклон прямой к оси \(r\) равен \(\sigma_t/r\), то есть \(P-P_0\). Таких касаний два.

Рис. 6. Кривая \(\sigma_t(r)\) с рис. 2 и лучи из начала координат, касающиеся её. Луч 1 касается кривой при \(r_1\approx0{,}9\) см (наклон наибольший), луч 2 — при \(r_2\approx2{,}5\) см (наклон наименьший).

Луч 1 касается кривой на подъёме при \(r_1\approx0{,}9\) см, где \(\sigma_t\approx27\) Н/м; это наибольший наклон: \(P-P_0\approx27/0{,}009\approx3{,}0\) кПа — локальный максимум. Дальше \(\sigma_t\) почти постоянно (плато), и \(\sigma_t/r\) спадает как \(1/r\). Луч 2 касается кривой перед крутым подъёмом при \(r_2\approx2{,}5\) см, где \(\sigma_t\approx31\) Н/м: \(P-P_0\approx31/0{,}025\approx1{,}25\) кПа — локальный минимум. Дальше резкий рост \(\sigma_t\) перебивает убывание \(1/r\), и \(P-P_0\) снова растёт. Остальные точки лежат под первым лучом и над вторым, так что других экстремумов нет.

Итоговый график (рис. 7): подъём от нуля при \(r_0=0{,}5\) см до максимума \(\approx3{,}05\) кПа при \(r\approx0{,}9\) см, спад вдоль плато до минимума \(\approx1{,}25\) кПа при \(r\approx2{,}5\) см и резкий рост. Точка \(r=1\) см лежит на спадающем участке сразу за максимумом, точка \(r=2{,}5\) см — на спадающем участке вплотную к минимуму; на графике они отмечены вертикальными штрихами.

Теперь переведём ось \(r\) в ось \(V\). Объём \(V=\pi r^2L\); точная зависимость \(L(r)\) не дана, но длина при надувании не убывает, поэтому \(V\) растёт с \(r\) монотонно, и экстремумы остаются экстремумами, а порядок точек сохраняется. Для качественного графика возьмём \(L\approx L_0\), тогда \(V/V_0=(r/r_0)^2\): максимум — при \(V\approx3V_0\), точка \(r=1\) см — при \(V=4V_0\), точка \(r=2{,}5\) см и минимум — при \(V\approx25V_0\) (рис. 7а). Рост длины на плато только растягивает правую часть графика вдоль оси \(V\): подъём сжат у начала оси, спад вдоль плато длинный и пологий, затем резкий рост — как на рис. 3.

Рис. 7. Давление \(P-P_0=\sigma_t/r\) по кривой рис. 2. Отмечены локальный максимум (\(3{,}05\) кПа), точка \(r=1\) см (\(2{,}9\) кПа) и локальный минимум с точкой \(r=2{,}5\) см (\(1{,}25\) кПа).

Рис. 7а. Ответ пункта (c): \(P-P_0\) как функция объёма (те же точки, \(V/V_0=(r/r_0)^2\) при \(L\approx L_0\)). Отмечены максимум, минимум и точки \(r=1\) см и \(r=2{,}5\) см.

Проверка: при \(r=r_0=0{,}5\) см давление равно атмосферному (плёнка не растянута), как и в пункте (b); точка \(r=1\) см лежит на 5 % ниже максимума, точка \(r=2{,}5\) см — чуть левее минимума (по оцифровке кривой минимум при \(r\approx2{,}52\) см) и выше него менее чем на 1 %; обе точки на спадающем участке, как и в официальном решении. Официальные значения \(3000\) Па и \(1200\) Па (там взято \(\sigma_t\approx30\) Н/м в обеих точках) совпадают с нашими в пределах требуемых 10 %.

d. Выберем независимой переменной объём \(V\). Упругая энергия плёнки \(E(V)\) определяется ходом зависимости \(P(V)\): если объём воздуха растёт на \(dV\), то воздух совершает над шариком работу \(P\,dV\), из неё \(P_0\,dV\) уходит на отодвигание атмосферы, а остальное запасается в плёнке: \[dE=\bigl(P(V)-P_0\bigr)\,dV .\] Источник поддерживает давление \(P\) и при этом отдаёт воздух объёмом \(dV\), что уменьшает его энергию на \(P\,dV\). Энергия всей системы (шарик, атмосфера, источник) как функция объёма шарика, с точностью до постоянной, \[G(V)=E(V)-(P-P_0)\,V,\qquad G'(V)=P(V)-P .\] Равновесие — \(P(V)=P\); оно устойчиво, если \(P(V)\) в этой точке возрастает (\(G\) имеет минимум). Если уровень \(P\) пересекает кривую (2) трижды, два крайних корня устойчивы, а средний, лежащий на падающем участке кубики, нет. Шарик переходит между двумя крайними состояниями \(V_1\) и \(V_2\), когда они равноценны: \(G(V_1)=G(V_2)\), то есть \[\int_{V_1}^{V_2}\bigl(P(V)-P_c\bigr)\,dV=0 .\] Это условие равных площадей: на рис. 8 заштрихованные области \(S_1\) (над уровнем \(P_c\)) и \(S_2\) (под ним) равны.

Пусть \(x=V-u\). Кубика \(P-P_0=a(x^3-bx+c)\) симметрична относительно точки \(x=0\), \(P-P_0=ac\): функция \(x^3-bx\) нечётная. Поэтому уровень, проходящий через центр симметрии, \(P_c-P_0=ac\), даёт равные площади: поворот на \(180^\circ\) вокруг центра переводит одну долю в другую. Уровень такой единственный: при росте \(P\) разность \(G(V_2)-G(V_1)\) меняется монотонно, так как \(\partial\bigl[G(V_2)-G(V_1)\bigr]/\partial P=-(V_2-V_1)<0\) в точках минимума. Итак, \[P_c=P_0+ac .\] Объёмы \(V_1\) и \(V_2\) — крайние корни уравнения \(P(V)=P_c\): \[x^3-bx=0\;\Rightarrow\;x=0,\;\pm\sqrt b,\qquad V_1=u-\sqrt b,\quad V_2=u+\sqrt b .\] Средний корень \(x=0\) лежит на падающем участке и неустойчив. Считаем \(V_1>V_0\), то есть \(u-V_0>\sqrt b\): иначе в физической области скачка нет.

Рис. 8. Кубика (2) и уровень \(P_c-P_0=ac\). Заштрихованные площади \(S_1\) и \(S_2\) равны; \(V_1=u-\sqrt b\), \(V_2=u+\sqrt b\). Нарисовано для \(a=b=1\), \(c=1{,}4\).

Проверка: размерность — \(b\) имеет размерность квадрата объёма (в скобке кубика складываются \(x^3\) и \(bx\)), так что \(\sqrt b\) — объём, а \(ac\) — давление. Экстремумы кубики лежат при \(x=\mp\sqrt{b/3}\) и равны \(P_0+a\bigl(c\pm\tfrac{2}{3\sqrt3}b^{3/2}\bigr)\); \(P_c\) лежит ровно посередине между ними и находится в зоне неоднозначности, а \(V_1<u-\sqrt{b/3}<u+\sqrt{b/3}<V_2\). При \(b\to0\) петля кубики исчезает и \(V_1,V_2\to u\): скачок вырождается.

e. Пока объём задан, а не давление, шарик в интервале \(V_1<V<V_2\) выгодно разделяется на две области, в каждой из которых давление равно \(P_c\): давление воздуха в шарике одно, и обе области должны быть в равновесии при нём. Равновесное давление поэтому не следует кубике между \(V_1\) и \(V_2\), а остаётся постоянным. График (рис. 9): кубика растёт от \(V_0\) до \(V_1\), где \(P-P_0=P_c-P_0\); от \(V_1\) до \(V_2\) — горизонтальная площадка \(P=P_c\); от \(V_2\) — снова кубика. В точках \(V_1\) и \(V_2\) наклон меняется скачком (изломы). Серым пунктиром показан участок кубики, который шарик не проходит.

Рис. 9. Равновесная зависимость \(P-P_0\) от \(V\) с учётом разделения: площадка \(P=P_c\) между \(V_1\) и \(V_2\) вместо серой петли кубики.

f. Давление в обеих областях равно \(P_c\), а при этом давлении устойчивы только два состояния плёнки — те, что отвечают объёмам \(V_1\) и \(V_2\) равномерно надутого шарика. Значит, тонкая область состоит из плёнки в состоянии «1», толстая — в состоянии «2» (рис. 10, сверху: граница между областями — короткий конус, его длиной пренебрегаем).

Пусть доля \(f\) плёнки (по материалу, например по её длине до надувания) находится в тонком состоянии, а доля \(1-f\) — в толстом. Весь шарик, надутый равномерно до состояния «1», имел бы объём \(V_1\), значит, доля \(f\) плёнки в этом состоянии занимает объём \(fV_1\); аналогично толстая часть занимает \((1-f)V_2\). Полный объём воздуха \[V=fV_1+(1-f)V_2\;\Rightarrow\; f=\frac{V_2-V}{V_2-V_1}.\] Объём тонкой области \(V_{\text{тонк}}=fV_1=\pi r_1^2L_{\text{тонк}}\), откуда \[L_{\text{тонк}}=\frac{V_{\text{тонк}}}{\pi r_1^2}=\frac{V_1\,(V_2-V)}{\pi r_1^2\,(V_2-V_1)} .\]

Проверка: при \(V=V_1\) получаем \(L_{\text{тонк}}=V_1/(\pi r_1^2)\) — весь шарик тонкий, длина равна длине равномерно надутого шарика в состоянии «1»; при \(V=V_2\) тонкой области нет, \(L_{\text{тонк}}=0\). Между этими значениями длина тонкой области убывает линейно с ростом \(V\), как и объём тонкой области, — так и должно быть на площадке графика (рис. 9), где меняются только доли двух состояний.

Рис. 10. Шарик с двумя областями: тонкая (радиус \(r_1\), у мундштука) и толстая (радиус \(r_2\)). Сверху — до, снизу — после того, как граница сдвинулась и часть тонкой области длиной \(\Delta L_{\text{тонк}}\) перешла в толстую (она стала длиннее на \(\Delta L_{\text{толст}}\)). Пунктир — прежнее положение границы и конца шарика.

g. Передвинем границу так, чтобы тонкая область стала короче на \(\Delta L_{\text{тонк}}\) (рис. 10, снизу). Объём тонкой области уменьшился на \(\Delta V_{\text{тонк}}=\pi r_1^2\,\Delta L_{\text{тонк}}\). Доля плёнки \(\delta f=\Delta V_{\text{тонк}}/V_1\) перешла из состояния «1» в состояние «2»; такая плёнка занимала объём \(\delta f\,V_1\), а стала занимать \(\delta f\,V_2\). Полный объём воздуха при этом вырос на \[\Delta V=\delta f\,(V_2-V_1)=\frac{V_2-V_1}{V_1}\,\pi r_1^2\,\Delta L_{\text{тонк}} .\] Это происходит при постоянном давлении \(P_c\), поэтому воздух совершает работу \[\Delta W=P_c\,\Delta V,\qquad \frac{\Delta W}{\Delta L_{\text{тонк}}}=\frac{\pi r_1^2\,P_c\,(V_2-V_1)}{V_1} .\] Из этой работы \(P_0\,\Delta V\) уходит на отодвигание атмосферы, а \((P_c-P_0)\,\Delta V\) идёт в упругую энергию плёнки: по условию равных площадей \(E(V_2)-E(V_1)=(P_c-P_0)(V_2-V_1)\), так что на объём \(\Delta V\) приходится именно такая доля.

Проверка: \(\mathrm{Па}\cdot\mathrm{м}^2=\mathrm{Н}\) — работа на единицу длины, Дж/м. При \(V_2\to V_1\) (исчезающий скачок) величина стремится к нулю: переход из тонкого состояния в толстое ничего не стоит, как и должно быть без петли на графике.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.