Груз на пружине с сухим трением

Трение скольжения постоянно, и на ходу вправо груз колеблется вокруг одной точки, на ходу влево — вокруг другой, смещённых на \(a\) от нуля пружины. Каждая половина колебания — половина гармонического колебания.

1) \(T=T_0\);  2) \(A=\dfrac{v_0^2T_0^2}{32\pi^2a}\) (колебания идут около точки, смещённой на \(a\) от положения недеформированной пружины);  3) период короче свободного на \(\Delta T=\dfrac{8a}{v_0}\).

Что происходит. Сила трения скольжения постоянна по величине и всегда направлена против скорости. Поэтому на ходу вправо на груз действует постоянная сила, а на ходу влево — такая же, но противоположная. Постоянная сила не меняет частоту колебаний, а лишь сдвигает точку, около которой они идут. Главная идея — записать уравнение движения для каждого направления хода отдельно и сшить половины по краям.

Обозначения. Ось \(x\) направлена вправо, к стене; \(x=0\) — пружина не деформирована. \(k\) — жёсткость, \(m\) — масса груза, \(\omega=\sqrt{k/m}=2\pi/T_0\), \(F\) — сила трения скольжения. Зона застоя — те \(x\), при которых \(k|x|\le F\) (трение покоя не больше \(F\)), поэтому \(F=ka\).

Опыт 1. Свободные колебания с трением.

1. Закон движения на ходу вправо. Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на ось \(x\) (трение направлено влево): \[m\ddot x=-kx-F=-k(x+a).\] Это гармонические колебания с той же \(\omega=\sqrt{k/m}\) около точки \(x=-a\) (центр сдвинут против хода). На ходу влево трение направлено вправо: \(m\ddot x=-k(x-a)\) — колебания около \(x=+a\).

2. Период. Движение вправо или влево длится от остановки до остановки, то есть ровно полпериода гармонических колебаний, \(\pi/\omega=T_0/2\). Значит, период \(T=T_0\), как без трения. Меняется только размах: за каждый полупериод он уменьшается на \(2a\).

Опыт 2. Удары молоточка.

3. Края размаха. Обозначим \(x_L\) и \(x_R\) — левую и правую остановки. Идя влево из \(x_R\) (скорость нуль), груз колеблется около \(+a\) с амплитудой \(x_R-a\) и останавливается слева симметрично: \(x_L=2a-x_R\). Значит, \(x_L+x_R=2a\): размах \(2A=x_R-x_L\) расположен симметрично около точки \(x=a\), и \(x_R=a+A\), \(x_L=a-A\).

4. Амплитуда. Идём вправо из \(x_L\): после удара скорость \(v_0\). Применим закон изменения механической энергии системы груз + пружина между \(x_L\) и \(x_R\): работа трения \(-F(x_R-x_L)\), в \(x_R\) скорость нуль: \[\frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_L^2}{2}-F\,(x_R-x_L)=\frac{kx_R^2}{2}.\] Перенесём: \(\dfrac{mv_0^2}{2}=(x_R-x_L)\left[F+\dfrac k2\,(x_R+x_L)\right]=2A\,[ka+ka]=4kaA\). Отсюда \[A=\frac{mv_0^2}{8ka}=\frac{v_0^2}{8a\omega^2}=\frac{v_0^2T_0^2}{32\pi^2a}.\] Так же получается из баланса за цикл: удар даёт \(mv_0^2/2\), трение отнимает \(F\cdot4A\).

5. Период. Ход влево — ровно полпериода гармонического колебания около \(+a\): время \(\pi/\omega\). Ход вправо начинается не из остановки, а со скорости \(v_0\) в точке \(x_L\), лежащей от центра \(-a\) на расстоянии \(A-2a\) (при \(A>2a\)). Это колебание около \(-a\) с амплитудой \(B=x_R+a=A+2a\). Из закона движения \(x+a=B\sin(\omega t+\theta_0)\) при \(t=0\): \(v_0=B\omega\cos\theta_0\), а останавливается груз при фазе \(\pi/2\). Пусть \(\delta=\pi/2+\theta_0\) (при \(A>2a\) фаза \(\theta_0<0\)), тогда \(\sin\delta=\dfrac{v_0}{\omega B}\) и время хода вправо \((\pi-\delta)/\omega\). Полный период: \[T=\frac{2\pi-\delta}{\omega}=T_0-\frac\delta\omega .\] При \(A\gg a\) имеем \(B\approx A\), угол \(\delta\) мал: \(\delta\approx\dfrac{v_0}{\omega A}=\dfrac{8a\omega}{v_0}\). Тогда \[\Delta T=T_0-T\approx\frac\delta\omega=\frac{8a}{v_0}=\frac{4\,(2a)}{v_0}.\]

На графике \(x(t)\) бирюзовым показан ход вправо (с удара), чёрным — ход влево; пунктир — центры \(\pm a\). Построено при \(A=8a\).

Обратите внимание: на ходу вправо и на ходу влево центры колебаний разные (\(-a\) и \(+a\)), а время каждого хода определяется своей амплитудой. Применять одну гармонику на весь период нельзя. Ход вправо короче полупериода: удар «пропускает» ту часть колебания, где груз медленно выходит из остановки.

Ответ. 1) \(T=T_0\); 2) \(A=\dfrac{v_0^2T_0^2}{32\pi^2a}\) около точки \(x=a\); 3) период короче \(T_0\) на \(\Delta T=\dfrac{8a}{v_0}\).

Проверка. Размерность: \(v_0^2T_0^2/a\) — метры, \(a/v_0\) — секунды. При \(a\to0\) (трения нет) \(\Delta T\to0\), но \(A\to\infty\): без трения удары накачивали бы колебания неограниченно, как и должно быть. При большом \(v_0\) поправка к периоду мала. Числовая проверка по точным формулам: при \(A=8a\) (\(\omega=1\), \(a=1\), \(v_0=8\)) получаем \(\delta=\arcsin0{,}8=0{,}93\), а оценка даёт \(1{,}0\) — они согласуются, и согласие улучшается с ростом \(A/a\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.