Измерение радиуса звезды

Измерения радиусов звёзд — сложная задача ввиду большого расстояния до них. Неоднородности в атмосфере размывают изображение, затрудняя определение их реального размера. Один из возможных методов измерения радиуса звёзд — использование интерферометра. Этот метод был предложен Майкельсоном и Пизом в 1921 году для измерения диаметра Бетельгейзе.

На рисунке ниже представлена схема интерферометра, использованного для измерения радиуса звезды.

Рис. 1. Ход лучей света, приходящих от звезды.

Отражаясь от зеркала M1, луч 1 попадает на светоделитель HM, который отражает \(50\%\) света по интенсивности и пропускает остальные \(50\%\). Отражённый луч попадает на зеркало M3, отразившись от которого проходит сквозь HM и падает на экран. В это же время луч 2 отражается от зеркала M2. Отразившись от HM, он также попадает на экран. Считайте, что зеркала M1, M2, M3 отражают весь падающий на них свет, добавляя при этом к его фазе \(\pi\) радиан. Длина волны используемого света равна \(\lambda\).

Часть A. Лучи, параллельные оси \(z\) (1.6 балла)

A1. Рассмотрим случай, когда лучи 1 и 2 параллельны оси \(z\), а зеркало M3 параллельно плоскости \(xy\). Найдите разность оптических путей \(\Delta_{12}\) между лучами 1 и 2, если они оба падают на экран в точке \(O\).

A2. Рассмотрим случай, когда зеркало M3 отклоняют на угол \(\alpha\) от плоскости \(xy\) путём вращения вокруг оси \(x\) (см. рис. 1). Если луч 1' падает на экран в точке \(O\), найдите разность оптических путей \(\Delta_{1'2}\) между лучами 1' и 2. Покажите, что в первом приближении разность хода не зависит от \(\alpha\) и упростите ваш ответ при \(\alpha\ll1\).

Часть B. Лучи под углом \(\theta\) в плоскости \(yz\) (4.7 балла)

Пусть теперь лучи падают на интерферометр под углом \(\theta\ll1\) к оси \(z\) в плоскости \(yz\), как показано на рисунке ниже. Как и в A2, зеркало M3 отклонено на угол \(\alpha\).

Примечание: Далее во всех пунктах задачи работайте только в линейном приближении при вычислении оптический путей, т.е пренебрегайте членами, содержащими множители \(\alpha^2\), \(\theta^2\), \(\alpha\theta\) и т.п

Рис. 2. Лучи, движущиеся под углом \(\theta\) в плоскости \(yz\) и падающие на экран в точке \(O\).

B1. Пусть лучи 1 и 2 падают в фиксированные точки зеркал M1 и M2 соответственно. Покажите в листах решений, что в первом приближении оптические пути лучей 1 и 2 от точек отражения от зеркал M1 и M2 соответственно до экрана не зависят от углов \(\theta\) и \(\alpha\).

B2. Пусть углы \(\alpha\) и \(\theta\) зафиксированы, а положения точек падения лучей 1 и 2 на зеркала M1 и M2 соответственно могут изменяться. Покажите в листах решений, что оптические пути лучей 1 и 2 от пунктирной линии, соответствующей координате \(z_\text{п}=L_3+L_4\) (подразумеваются точки пересечения пунктирной линии с траекториями лучей 1 и 2 до падений на зеркала M1 и M2 соответственно), до экрана в первом приближении не зависят от углов \(\theta\) и \(\alpha\).

Если лучи 1 и 2 падают на экран в точке \(O\), разность фаз между ними может быть записана в виде:\[\delta_{12}=\frac{2\pi}\lambda b\theta+\delta_O.\]

B3. Выразите \(b\) и \(\delta_O\) через \(\lambda\), \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\), \(L_4\).

Если луч 1', отражённый от зеркала M1, и луч 2', отражённый от зеркала M2, падают в одну и ту же точку на экране с координатой \(y\), разность фаз между ними может быть записана в виде:\[\delta_{1'2'}=\frac{2\pi}\lambda b\theta+\delta_y.\]

B4. Покажите в листах решений, что \[\delta_y=\delta_O-\cfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2\alpha y\]

Примечание: Далее во всех пунктах задачи можно пользоваться утверждениями пунктов B1-B4, даже если они не доказаны.

B5. Таким образом, на экране возникнет интерференционная картина. Найдите расстояние \(y_1\) до ближайшего к точке \(O\) интерференционного максимума. Найдите также расстояние \(\Delta y_m\) между двумя соседними интерференционными максимумами. Приведите численные ответы в случае \(L_1=0.50~м\), \(L_2=1.50~м\), \(L_3=0.50~м\), \(L_4=1.00~м\), \(\alpha=10^{-4}\), \(\theta=10^{-5}\), \(\lambda=500~нм\).

B6. Найдите, как интенсивность \(I(y)\) на экране зависит от координаты \(y\), если её максимальное значение равно \(I_0\), подставив сюда численные значения из предыдущего пункта. Учтите влияние светоделителя на интенсивность прошедшего света.

Часть C. Ну совсем произвольные лучи (1.0 балла)

Пусть теперь лучи 1'' и 2'' падают на интерферометр под углом \(\theta_x\ll1\) к плоскости \(yz\) и под углом \(\theta_y\ll1\) к плоскости \(xz\) (см. рис. 3).

Рис. 3

C1. Выразите волновой вектор \(\vec k\) падающих лучей через \(\theta_x\), \(\theta_y\), модуль волнового вектора \(k=2\pi/\lambda\) и единичные орты координатных осей.

Итак, пусть луч ''1'', отражённый от зеркала M1, и луч ''2'', отражённый от зеркала M2, падают в одну и ту же точку на экране на оси \(y\) на расстоянии \(y\) от точки \(O\).

C2. Выразите разность фаз между лучами 1'' и 2'' через \(\lambda\), \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\), \(L_4\), \(\theta_x\), \(\theta_y\), \(\alpha\), \(y\).

Часть D. Измерение радиуса (2.7 балла)

Рассмотрим звезду с угловым радиусом \(\theta_R\), который нам необходимо определить. Для простоты будем считать, что звезда излучает как однородный диск, т.е. интенсивность света, приходящего из телесного угла \(\mathrm d\Omega=\mathrm d\theta_x\mathrm d\theta_y\), равна \(\mathcal J\mathrm d\Omega\), где \(\mathcal J\) – постоянная величина в любом направлении внутри диска звезды.

Пусть интерферометр (а точнее, ось \(z\)) направлен точно в центр звезды. При \(\alpha > 0\) на экране будет наблюдаться интерференционная картина. Обозначим минимальную и максимальную интенсивности на экране вдоль оси \(y\) как \(I_{y(min)}\) и \(I_{y(max)}\) соответственно. Введём видность \(V\) интерференционной картины как:\[V=\frac{I_{y(max)}-I_{y(min)}}{I_{y(max)}+I_{y(min)}}.\]

Рис. 4. Слева: вид сбоку на звезду и наблюдателя; справа: вид диска звезды из точки наблюдения.

D1. Запишите \(V\) в виде интеграла по одной переменной. Явно производить интегрирование при этом необязательно.

Подсказка: интеграл некоторой функции \(f(\theta_y)\), зависящей только от \(\theta_y\), по поверхности диска радиусом \(\theta_R\) можно представить в виде:\[I=\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R}\mathrm d\theta_y\int\limits_{-\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}}^{\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}}\mathrm d\theta_x~f(\theta_y)=\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R}\mathrm d\theta_y\cdot 2\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}f(\theta_y).\]

Интерферометр используется для наблюдения Бетельгейзе. Если симметрично отдалять зеркала M1 и M2 от центра HM \(\Big(\)так что \(L_1^*=L_1+d/2\) и \(L_2^*=L_2+d/2\Big)\), то видность \(V\) обнулится при \(d=0.97~м,3.12~м,\ldots\) (параметры системы те же, что и в B3). В данной части задачи \(L_1\) и \(L_2\) численно не заданы, а \(\lambda=500~\text{нм}\).

D2. Найдите угловой радиус Бетельгейзе \(\theta_R\). Найдите её радиус \(R\), если расстояние до неё \(h=6.079\cdot10^{15}~км\).

Подсказка: Первые два нуля интеграла\[F_n=\int_0^1\left(1-w^2\right)^n\cos(\eta w)~\mathrm dw\]как функции \(\eta\) приведены в таблице ниже.