Темная материя
4/10Фриц Цвики первым указал на существование темной материи. Он пришел к этому выводу, анализируя динамику скопления галактик Комы. Скопление (кластер) содержит около тысячи галактик. С помощью теоремы о вириале Цвики оценил полную массу скопления. Для систем, подобных Солнечной системе, в которых планеты вращаются по круговым орбитам вокруг Солнца, теорема о вириале утверждает, что кинетическая энергия планет определяется потенциальной энергией гравитационного взаимодействия. В общем случае для системы взаимодействующих частиц, теорема о вириале связывает усредненную по времени полную кинетическую энергию системы и усредненную по времени полную потенциальную энергию системы.
Исследуя скорости галактик на периферии Кома-кластера, Цвики пришел к выводу, что полная масса кластера превышает массу входящих в него галактик, наблюдаемых визуально. Чтобы объяснить величины скоростей галактик на периферии кластера, недостаточно учесть гравитационное взаимодействие только с наблюдаемой материей (т.е. видимыми галактиками). Это означало, что в кластере содержится еще какая-то невидимая материя. Если учесть гравитационное взаимодействие с ней, то можно объяснить бОльшие значения наблюдаемых скоростей. Эта невидимая материя и есть «темная материя». В дальнейшем будем считать, что масса каждой галактики равна сумма масс видимой материи и темной материи этой галактики. Оба вида материи движутся совместно. Считайте, что темная материя взаимодействует с видимой только гравитационно.
Часть А. Скопление галактик (5.2 балла)
Пусть кластер (скопление) состоит из большого числа \(N\) галактик и темной материи, распределенных однородно внутри сферы радиуса \(R\). Полная масса кластера (т.е. и входящих галактик, и темной материи) – \(M\), а средняя масса галактики (состоящей из видимой и темной материи) – \(m\).
А1. Пусть материя распределена в кластере однородно. Найдите полную гравитационную энергию кластера. Ответ выразите через \(M\) и \(R\).
Т.к. Вселенная расширяется, объекты удаляются от наблюдателя на Земле. Они удаляются со скоростью, которая зависит от расстояния между наблюдателем и объектом. Как правило, регистрируют излучение линии атома водорода. Частота этой линии от источника, находящегося на Земле, равна \(f_0\). Пусть для каждой \(i\)-той удаляющейся галактики на Земле регистрируется сигнал частотой \(f_i\), где \(i=1, \ldots, N\).
А2. Определите среднюю скорость скопления галактик \(V_{c r}\), которое удаляется от Земли.
Выразите ответ через \(f_i(i=1, \ldots, N), f_0\) и \(N\).
Примечание. Скорости галактик много меньше скорости света \(c\).
А3. Предположим, что скорости галактик относительно центра кластера изотропны (т.е. все направления равноправны). Найдите среднеквадратичную скорость \(v_\mathrm{r m s}\) галактик относительно центра их скопления. Выразите ответ через \(N, f_i(i=1, \ldots, N)\) и \(f_0\). Определите среднюю кинетическую энергию одной галактики относительно центра кластера. Выразите ответ через \(v_\mathrm{r m s}\) и \(m\).
Чтобы определить полную массу скопления галактик, можно использовать теорему о вириале. Согласно ей, для консервативной системы частиц, \[\langle K\rangle_t=-\gamma\langle U\rangle_t\]где \(\langle K\rangle_t\) – полная кинетическая энергия, усредненная по времени, \(\langle U\rangle_t\) – полная потенциальная энергия, усредненная по времени, а \(\gamma\) – константа.
Этот результат можно получить, если предположить, что в системе взаимодействующих частиц значения координаты и импульса каждой частицы конечны, а следовательно конечна и следующая величина \[\Gamma=\sum_i \vec p_i \cdot \vec r_i\]
А4. Усреднение величины \(\mathrm d \Gamma /\mathrm d t\) по достаточно большому периоду времени равно нулю, т.е. \(\left\langle\dfrac{\mathrm d \Gamma}{\mathrm d t}\right\rangle_t=0\). Определите \(\gamma\) в выражении для теоремы о вириале для случая гравитационного взаимодействия.
Указание. Попробуйте решить задачу, просуммировав в \(\Gamma\) параметры для небольшого конечного числа галактик.
А5. Используя предыдущие результаты, найдите полную массу темной материи в кластере. Выразите ответ через \(N, m_g, R\) и \(v_\mathrm{r m s}\), где \(m_g\) – средняя масса видимой материи одной галактики. Считайте что среднеквадратичная скорость темной материи совпадает со среднеквадратичной скоростью галактик в кластере.
Часть В. Темная материя в галактике (2.8 балла)
Темная материя есть как внутри галактик, так и вокруг них. Рассмотрим сферическую видимого радиуса \(R_g\) (это приблизительное расстояние, где еще можно наблюдать достаточно большое число звезд, при этом, небольшое число звезд могут находиться на расстояниях бОльших \(R_g\)). Звезды в галактиках можно считать точечными частицами со средней массой \(m_s\). Звезды в галактике распределены однородно. Число звезд в единице объема равно \(n\).
Будем считать, что звезды движутся по круговым орбитам.
В1. Пусть галактика состоит только из звезд.
Найдите скорость звезды \(v(r)\) в зависимости от расстояния от звезды до центра галактики.
Изобразите графически зависимость \(v(r)\) для \(r< R_g\) и \(r\geq R_g\).
На существование темной материи также указывает наблюдаемая зависимость скорости звезд от расстояния \(r\) (рисунок 1). Для простоты будем считать, что зависимость \(v(r)\) линейна при \(r\leq R_g\) и постоянна и равна \(v_0\) при \(r\geq R_g\).
Рис. 1. Наблюдаемая зависимость скорости \(v(r)\) звезд от расстояния \(r\)
В2. Найдите полную массу \(m_R\) той части галактики, которая находится внутри сферы радиуса \(R_g\). Выразите ответ через \(v_0\) и \(R_g\).
Различие между зависимостью на рис. 1 и графиком, полученным в пункте В1 указывает на существование темной материи.
В3. Определите, как зависит плотность темной материи от расстоянии \(r\). Найдите эту зависимость для \(r < R_g\) и \(r\geq R_g\). Выразите ответы через \(r\), \(R_g\), \(v_0\), \(n\) и \(m_s\).
Часть С. Межзвездный газ и темная материя (2 балла)
Рассмотрим галактику, в которой присутствуют межзвездный газ и темная материя (массой звезд можно пренебречь). Пусть межзвездный газ состоит из одинаковых частиц массы \(m_p\). Концентрация частиц \(n(r)\) и температура \(T(r)\) газа зависят от расстояния \(r\) до центра галактики. Будем считать, что газ находится в гидростатическом равновесии: его давление связано с гравитационным притяжением галактики.
С1. Найдите градиент давления газа \(\mathrm dP/\mathrm dr\). Выразите ответ через \(m'(r)\), \(r\) и \(n(r)\), где \(m'(r)\) – полная масса газа и темной материи, находящихся внутри сферы радиуса \(r\) от центра галактики.
C2. Найдите \(m'(r)\). Выразите ответ через \(n(r)\), \(T(r)\) и их производные по \(r\). Считайте межзвездный газ идеальным.
Для простоты предположим, что температура газа постоянна, везде одинакова, и равна \(T_0\), а концентрация частиц определяется соотношением: \[n(r)=\frac{\alpha}{r(\beta+r)^2}\]где \(\alpha\) и \(\beta\) – некоторые постоянные.
С3. Определите, как зависит плотность темной материи в галактике от \(r\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветА1: \[U=-\frac35\frac{GM^2}R\]; А2: \[V_{cr}=-\frac{c}{Nf_0}\sum_{i=1}^N(f_i-f_0)\]; А3: \[v_{rms}=\frac{c\sqrt3}{f_0N}\sqrt{\left(N\sum_{i=1}^Nf_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^Nf_i\right)^2}\] \[K_{avg}=\frac m2 v_{rms}^2\]; А4: \[\gamma=1/2\]; А5: \[M_{dm}=\frac{5Rv_{rms}^2}{3G}-Nm_g\]; В1: \[v(r)=\sqrt\frac{4\pi Gnm_s}{3}r\] \[v(r)=\sqrt\frac{4\pi Gnm_sR_g^3}{3r}\]; В2: \[m_R=\frac{v_0^2R_g}G\]; В3: \[\rho(r)=\frac{v_0^2}{4\pi Gr^2}\] \[\rho(r)=\frac{3v_0^2}{4\pi GR_g^2}-nm_s\]; С1: \[{\frac{\mathrm d P}{\mathrm d r}}=-\rho{\frac{G m^{\prime}(r)}{r^{2}}}=-n(r)m_{p}\,{\frac{G m^{\prime}(r)}{r^{2}}}\]; C2: \[m^{\prime}(r)\equiv-\frac{k T}{G m_{p}}\left(\frac{r^{2}}{n(r)}\frac{\mathrm d n(r)}{\mathrm d r}+\frac{r^{2}}{T(r)}\frac{\mathrm d T(r)}{\mathrm d r}\right)\]
РешениеА1. Потенциальная энергия взаимодействия сферически симметричного объекта массой \(M(r)=\frac43\pi r^3\rho\) и пробной массы \(\mathrm dm\) на расстоянии \(r\) от него равна\[\mathrm dU=-G\frac{M(r)}r\mathrm dm.\]Тогда для шара радиуса \(R\):\[U=-\int_{0}^{R}G{\frac{M(r)}{r}}~\mathrm d m=-\int_{0}^{R}G{\frac{4\pi r^{3}\rho}{3r}}4\pi r^{2}\rho ~\mathrm d r=-{\frac{16}{3}}G\pi^{2}\rho^{2}\int_{0}^{R}r^{4}~\mathrm d r=-\frac{16}{15}G\pi^2\rho^2R^5.\]Подставляя полную массу \(M=\frac43\pi R^3\rho\), получаем
Ответ:
\[U=-\frac35\frac{GM^2}R\]
А2. Эффект Доплера для \(i\)-той галактики в нерелятивистском приближении запишется в виде:\[V_{ir}=-\frac{\Delta f}{f_0}c=-\frac{f_i-f_0}{f_0}c.\]Средняя скорость скопления:
Ответ:
\[V_{cr}=-\frac{c}{Nf_0}\sum_{i=1}^N(f_i-f_0)\]
А3. Радиальная скорость галактики представляет собой одну из трёх компонент её скорости, поэтому из предположения об изотропии:\[\frac1N\sum_{i=1}^N(\vec V_i-\vec V_c)^2=\frac3N\sum_{i=1}^N(\vec V_{ir}-\vec V_{cr})^2.\]Таким образом,\[v_{rms}=\sqrt{\frac3N\sum_{i=1}^N(V_{ir}- V_{cr})^2}=\frac{c\sqrt3}{f_0}\sqrt{\frac1N\sum_{i=1}^N(f_i-\bar f_i)^2}\implies\]
Ответ:
\[v_{rms}=\frac{c\sqrt3}{f_0N}\sqrt{\left(N\sum_{i=1}^Nf_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^Nf_i\right)^2}\]
Средняя кинетическая энергия одной галактики будет равна
Ответ:
\[K_{avg}=\frac m2 v_{rms}^2\]
А4. \[\frac{\mathrm d\Gamma}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum_i(\vec p_i,\vec r_i)=\sum_i\left(\frac{\mathrm d\vec p_i}{\mathrm dt},\vec r_i\right)+\sum_i\left(\vec p_i,\frac{\mathrm d\vec r_i}{\mathrm dt}\right)=\sum_i(\vec F_i,\vec r_i)+\sum_im_i(\vec v_i,\vec v_i)=\sum_i(\vec F_i,\vec r_i)=\sum_i(\vec F_i,\vec r_i)+2K\]Преобразуем первое слагаемое, учитывая, что сила \(\vec F_i\) складывается из гравитационного взаимодействия с другими телами. Согласно третьему закону Ньютона, оно должно быть сумме произведений силы взаимодействия между двумя частицами на радиус-вектор от одной к другой по всем парам частиц, т.е.:\[\sum_i(\vec F_i,\vec r_i)=\sum_{i < j}(\vec F_{ji},\vec r_j-\vec r_i)=-\sum_{i < j}G\left(\frac{m_{i}m_{j}}{\left|\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right|^{2}}\frac{\left(\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right)}{\left|\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right|},(\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}})\right)=-\sum_{i < j}G\frac{m_{i}m_{j}}{\left|\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right|}=U_{\mathrm{tot}}\]Таким образом,\[\frac{\mathrm d\Gamma}{\mathrm dt}=U+2K\implies2\langle K\rangle+\langle U\rangle=0\implies\]
Ответ:
\[\gamma=1/2\]
А5. Воспользуемся теоремой о вириале для тёмной материи:\[\frac M2 v_{rms}^2=\frac12\frac35\frac{GM^2}R\implies M=\frac{5Rv_{rms}^2}{3G}\implies\]
Ответ:
\[M_{dm}=\frac{5Rv_{rms}^2}{3G}-Nm_g\]
В1. Запишем теорему Гаусса для гравитационного поля:\[g=G\frac{m'(r)}{r^2}\implies v(r)^2/r=Gm'(r)/r^2\]для частицы, движущейся вокруг центра галактики по окружности. Здесь \(m'(r)=\frac43\pi r^3m_sn\) – масса внутри сферы радиусом \(r\). При \(r < R_g\) получится
Ответ:
\[v(r)=\sqrt\frac{4\pi Gnm_s}{3}r\]
При \(r > R_g\) масса \(m'=m'(R_g)\), и тогда
Ответ:
\[v(r)=\sqrt\frac{4\pi Gnm_sR_g^3}{3r}\]
Ответ:
В2. Полную массу можно получить из уравнения\[G\frac{m_R}{R_g^2}=\frac{v_0^2}{R_g}\implies\]
Ответ:
\[m_R=\frac{v_0^2R_g}G\]
В3. Если бы вся масса галактики была сосредоточена в видимой материи, скорость вращения спадала бы с расстоянием как \(1/\sqrt r\) при \(r > R_g\), однако на графике она остаётся постоянной. Из соотношения\[G\frac{m'(r)}{r^2}=\frac{v_0^2}r\]можно сделать вывод, что масса \(m'(r)\) при \(r > R_g\) должна увеличиваться прямо пропорционально \(r\), т.е. \(m'(r)=Ar\), где \(A\) найдём из условия \(m'(R_g)=m_R=AR_g\implies A=m_R/R_g=v_0^2/G\). Плотность тёмной материи находим их равенства \(4\pi r^2 \rho(r)=\frac{\mathrm dm'(r)}{\mathrm dr}=A\implies\)
Ответ:
\[\rho(r)=\frac{v_0^2}{4\pi Gr^2}\]
При этом линейность \(v_0(r)\) при \(r < R_g\) требует постоянства плотности тёмной материи, поэтому при \(r < R_g\) должно быть \(m'(r)=Br^3\). Аналогично \(m'(R_g)=BR_g^3=m_R\implies B={m_R}/{R_g^3}={v_0^2}/{GR_g^2}\). Плотность находим из соотношения \(4\pi r^2 (\rho(r)+nm_s)=\frac{\mathrm dm'(r)}{\mathrm dr}=3Br^2\implies\)
Ответ:
\[\rho(r)=\frac{3v_0^2}{4\pi GR_g^2}-nm_s\]
С1. Рассматривая механическое равновесие небольшого слоя газа толщиной \(\mathrm dr\)и площадью \(A\), получим\[(P(r)-P(r+\mathrm dr))A-\rho g(r)A~\mathrm dr=0\implies\]
Ответ:
\[{\frac{\mathrm d P}{\mathrm d r}}=-\rho{\frac{G m^{\prime}(r)}{r^{2}}}=-n(r)m_{p}\,{\frac{G m^{\prime}(r)}{r^{2}}}\]
C2. Поскольку \(P=nkT\), то\[\frac{\mathrm dP}{\mathrm dr}=kT\frac{\mathrm dn(r)}{\mathrm dr}+kn(r)\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}=-n(r)m_p\frac{Gm'(r)}{r^2}\implies\]
Ответ:
\[m^{\prime}(r)\equiv-\frac{k T}{G m_{p}}\left(\frac{r^{2}}{n(r)}\frac{\mathrm d n(r)}{\mathrm d r}+\frac{r^{2}}{T(r)}\frac{\mathrm d T(r)}{\mathrm d r}\right)\]
С3. В изотермическом приближении \(\mathrm dT/\mathrm dr=0\implies\)\[m'(r)=-\frac{kT_0}{Gm_p}\frac{r^2}{n(r)}\frac{\mathrm dn(r)}{\mathrm dr}=\frac{kT_0r}{Gm_p}\frac{3r+\beta}{r+\beta}.\]Плотность межзвёздного газа равна\[\rho_g(r)=\frac{\alpha m_p}{r(\beta+r)^2},\]поэтому\[m'(r)=\int_{0}^{r}\left(\frac{\alpha m_{p}}{{r^{\prime}}(\beta+r^{\prime})^{2}}+\rho_{d m}(r^{\prime})\right)4\pi r^{\prime2}~\mathrm d r^{\prime}=\frac{k T_{0}r}{G m_{p}}\frac{\ 3r+\beta}{(r+\beta)}\implies\\\implies\left(\frac{\alpha m_{p}}{{r}(\beta+r)^{2}}+\rho_{d m}(r)\right)4\pi r^{2}=\frac{kT_0}{Gm_p}\frac{3r^{2}+6r\beta+\beta^{2}}{\left(r+\beta\right)^{2}}\implies\]
Ответ:
\[\rho_{d m}(r)=\frac{k T_{0}}{4\pi G m_{p}}\frac{3r^{2}+6r\beta+\beta^{2}}{\left(r+\beta\right)^{2}r^{2}}-\frac{\alpha m_{p}}{r(\beta+r)^{2}}\]
Перевод: pho.rs.
Похожие задачи
- Планета Плюк (C2) ЕГЭ 2009, 11 кл.
- Масса нейтронной звезды «Надежда энергетики» 2018/19, 10 кл.
- Масса нейтронной звезды «Надежда энергетики» 2018/19, 11 кл.
- Спутники планеты X «Шаг в будущее» 2019/20, 10 кл.
- Тройные звёзды МОШ 2022/23, 9 кл.
- Работа силы тяжести при взлёте ракеты Физтех 2024/25, 11 кл.