Сила сопротивления, действующая на падающий магнит

Небольшой магнит с магнитным дипольным моментом \(p\) и массой \(m\) падает в длинной вертикальной немагнитной металлической трубке, как показано на рисунке (масштаб не соблюден). Процесс падения магнита описывается уравнением: \[m\ddot z=mg-k\dot z\] Здесь \(g\) - ускорение свободного падения, а коэффициент \(k\) обусловлен возникающими в трубке вихревыми токами.

1. Найдите установившуюся скорость \((v_T)\) падения магнита.

2. Найдите зависимость координаты магнита \(z(t)\) от времени \(t\) при начальных условиях \(v(t= 0) = 0\) и \(z(t = 0) = 0\).

Изучим подробнее динамику падения магнита. В пунктах (I.3) — (I.8) рассматривается упрощенная задача о падении магнита вдоль оси неподвижного немагнитного металлического кольца радиуса \(a\), электрическим сопротивлением \(R\) и индуктивностью \(L\), как показано на рис. В дальнейшем полностью пренебрегайте излучением электромагнитных волн.

В нашем случае удобно использовать цилиндрическую систему координат \((\rho, \varphi, z)\), изображенную на рисунке выше и выбранную таким образом, что ось \(z\) совпадает с осью кольца. В начальный момент времени магнит покоится в начале координат, а центр кольца имеет координату \(z_0\). На том же рисунке показаны оси обычной декартовой системы координат (\(x,y,z\)). Считайте, что дипольный момент магнита \(\vec p\) всегда направлен вдоль оси \(z\) в ее положительном направлении (\(\hat p = p\hat k\)), где \(\hat k\) — единичный вектор вдоль оси \(z\).

Осевая (\(B_z\)) и радиальная (\(B_{\rho}\)) компоненты индукции магнитного поля, вычисленные в некоторой точке \((\rho, \varphi, z)\), имеют вид:

\[B_z=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{p}{(\rho^2+z^2)^{\frac32}}\left[\frac{3z^2}{\rho^2+z^2}-1\right]\] \[B_{\rho}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3pz\rho}{(\rho^2+z^2)^{5/2}}\]где \(\mu_0\) — магнитная постоянная.

3. Пусть в некоторый момент времени скорость падения магнита равна \(v\). Найдите величину ЭДС \(e_i\), индуцируемой магнитом в кольце.

4. Пусть эта ЭДС вызывает в кольце ток \(i\). Найдите модуль магнитной силы \(f_{em}\), действующей на кольцо, и выразите ее через \(i\).

5. Чему равна величина модуля силы, действующей на магнит со стороны кольца?

6. Выразите ЭДС индукции \(e_i\) в кольце через \(L, R\) и \(i\), но не решайте полученное уравнение!

7. В процессе падения магнита его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается. Не проводя вычислений, укажите в виде формул три основных вида энергии, в которые переходит потенциальная энергия магнита.

8. Совершает ли механическую работу магнитное поле магнита в данном процессе?

Теперь рассчитаем коэффициент пропорциональности \(k\) в уравнении \(m\ddot z=mg-k\dot z\), обусловленный трубкой. Для этого рассмотрим бесконечную трубку радиусом \(a\) со стенками малой толщины \(w\) и проводимостью \(\sigma\). Здесь и ниже считайте, что индуктивность трубки пренебрежимо мала, а ее концы имеют координаты \(z=-\infty\) и \(z=\infty\) соответственно.

Разобьем трубку на большое число колец, каждое высотой \(\Delta z'\), радиусом \(a\), малой толщиной \(w\) и проводимостью \(\sigma\) (см. рис).

9. Найдите сопротивления отдельного кольца.

10. Найдите коэффициент \(k\) для бесконечно длинной трубки и выразите его через \(p,\sigma\), а также геометрические размеры кольца. Так как кольца очень тонкие, то можно считать магнитное поле внутри каждого кольца однородным и равным \(B_{\rho}(\rho = a)\). Пусть в момент времени \(t\) магнит имеет координату \(z(t)\) и скорость \(\dot z(t)\). Представьте коэффициент \(k\) в виде выражения, содержащего некоторый интеграл по безразмерному параметру \(u=(z-z')/a\).

11. Предположим, что коэффициент пропорциональности \(k\) зависит от следующих величин: \[k=f(\mu_0,p,R_0,a)\] где \(R_0\) - эффективное сопротивление трубки. С помощью анализа размерностей получите выражение для \(k\), считая численный коэффициент в полученной формуле равным единице.

Приложение

\[\int\frac{udu}{(u^2+a^2)^n}=\frac12\frac{(u^2+a^2)^{1-n}}{(1-n)}+Constant (n>1)\]