Трое в поле, не считая конденсатора

Ток через конденсатор в установившемся режиме равен нулю, поэтому цепь можно решать как разветвлённую схему с известными ЭДС, найденными по закону электромагнитной индукции.

Через достаточно большое время конденсатор зарядится так, что ток через него течь не будет, и токи во всей цепи установятся. Расставим токи так, как показано на рисунке (рис. 23).

Закон Кирхгофа для контуров: \[\text{AFEB:}\quad \mathcal{E}_{\text{AFEB}} = 5I_1 r + 3I_2 r, \qquad (6)\] \[\text{AGDB:}\quad \mathcal{E}_{\text{AGDB}} = 5I_1 r + I_3 r, \qquad (7)\] и первый закон Кирхгофа для точки D: \[I_1 = I_2 + I_3 .\] Из закона электромагнитной индукции Фарадея: \[\mathcal{E}_{\text{AFEB}} = \frac{d(B\cdot 3a^2)}{dt} = 3ka^2, \qquad \mathcal{E}_{\text{AGDB}} = 2ka^2 . \qquad (8)\] Обозначим \(\dfrac{ka^2}{r} = I_0\). Тогда, решая систему уравнений (6), (7), (8), получим: \[I_1 = \frac{9}{23}I_0, \qquad I_2 = \frac{8}{23}I_0, \qquad I_3 = \frac{1}{23}I_0 .\] Отсюда и из условия \(k > 0\) получаем, что ток \(I_1\) на участке \(AB\) течёт от \(B\) к \(A\).

Рассмотрим контур \(AHCB\): \[I_0 r = ka^2 = \mathcal{E}_{\text{AHCB}} = I_1\cdot 3r + U_C ,\] здесь \(U_C\) — напряжение между верхней и нижней обкладками конденсатора. Следовательно: \[U_C = -\frac{4}{23}ka^2, \qquad \text{откуда} \qquad Q = \frac{4}{23}Cka^2 ,\] при этом заряд верхней обкладки отрицательный, нижней — положительный.

Тепловая мощность в цепи равна сумме мощностей на всех проводниках: \[N = 5I_1^2 r + 3I_2^2 r + I_3^2 r = \frac{26k^2a^4}{23\,r}, \qquad \text{откуда} \qquad W = N\tau = \frac{26k^2a^4}{23\,r}\,\tau .\]