Колебания спицы

Удобно считать вращение спицы вокруг края подставки и записать закон сохранения энергии. Движение с постоянным угловым ускорением даёт время подъёма до горизонтали.

Рассмотрим вращение спицы вокруг левого края подставки. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий шариков: \[K = \frac{m}{2}\left(\frac{L-l}{2}\right)^2\dot\varphi^2 + \frac{m}{2}\left(\frac{L+l}{2}\right)^2\dot\varphi^2 = \frac{m(L^2+l^2)}{4}\dot\varphi^2 \approx \frac{mL^2}{4}\dot\varphi^2 .\] Потенциальная энергия системы: \[\Pi = -mg\left(\frac{L-l}{2}\right)\varphi + mg\left(\frac{L+l}{2}\right)\varphi = mgl\,\varphi .\] Механическая энергия системы сохраняется, поэтому: \[\dot K + \dot\Pi = \frac{mL^2}{2}\dot\varphi\ddot\varphi + mgl\dot\varphi = 0 .\] Разделив на \(\dot\varphi\) (решение \(\dot\varphi = 0\) нас не интересует), получим уравнение равноускоренного движения: \[\ddot\varphi = -\frac{2gl}{L^2} .\] Время \(\tau\), за которое спица вернётся в горизонтальное положение, найдём из условия \(\dfrac{\ddot\varphi\tau^2}{2} = -\varphi_0\), откуда \[\tau = \sqrt{\frac{\varphi_0}{gl}}\,L .\] После того, как спица вернётся в горизонтальное положение, она начнёт движение относительно правого угла подставки, затем снова относительно левого и так далее. Период такого движения: \[T = 4\tau = 4L\sqrt{\frac{\varphi_0}{gl}} .\]