Давление газировки

При нагреве растворимость газа падает и часть газа выходит в объём над водой. В предельном случае давление над водой при \(t_2\) равно \(p_2\); нужно найти, сколько газа добавится в объём, и уравнение состояния газа.

При увеличении температуры в объёме \(V\) между поверхностью воды и крышкой увеличивается давление газа. Это происходит из-за уменьшения растворимости углекислого газа и его выхода из жидкости. В предельном случае при максимальной температуре \(t_2\) внутри бутылки должно оказаться максимально допустимое давление \(p_2\).

Найдём массу углекислого газа, которая дополнительно окажется в объёме \(V\) при повышении температуры с \(t_1\) до \(t_2\). Для этого определим растворимости углекислого газа при этих температурах, воспользовавшись графиком и законом Генри: \[\sigma_1 = \sigma'_1\frac{p_1}{p_0} \approx 4{,}50~\text{г/кг}, \qquad \sigma_2 = \sigma'_2\frac{p_2}{p_0} \approx 4{,}07~\text{г/кг},\] где \(\sigma'_1 = 3\) г/кг и \(\sigma'_2 = 1{,}1\) г/кг — растворимости при температурах \(t_1\) и \(t_2\) при атмосферном давлении, найденные из графика. Таким образом, из-за роста температуры в объёме \(V\) масса углекислого газа увеличилась на \[\Delta m = (\sigma_1 - \sigma_2)\,m_{\text{в}} = 0{,}86~\text{г}.\] Если учесть ещё массу \(m_1\) углекислого газа, который находился над поверхностью воды при герметизации бутылки, то выражение для общей массы углекислого газа будет таким: \[m_2 = m_1 + \Delta m = \frac{p_1 V\mu}{RT_1} + \Delta m .\] Давление этого газа в критическом случае равно \(p_2\): \[p_2 V = \frac{m_2}{\mu}RT_2 = p_1 V\frac{T_2}{T_1} + \frac{\Delta m}{\mu}RT_2 .\] Таким образом, минимальный надводный объём бутылки: \[V = \frac{\Delta m}{\mu}\,\frac{RT_1T_2}{p_2T_1 - p_1T_2} \approx 250~\text{см}^3 .\] Объём \(V\) складывается из верхнего цилиндрического объёма \(V_1 = \dfrac{\pi d^2(H-h)}{4} \approx 21{,}2~\text{см}^3\) и нижнего конического (усечённого конуса) \(V_2\) (рис. 26). Для расчётов удобно разбить объём фигуры по-другому: объём \(V_{\text{к}}\) конуса и объём \(V_0\), оставшийся от цилиндра после изъятия конуса (на рисунке заштрихован):

\[V_0 = 21{,}2~\text{см}^3 - \frac{\pi d^2(H-h)}{12} \approx 14{,}1~\text{см}^3 .\] Итак, \[V = 14{,}1~\text{см}^3 + \frac{\pi y^3}{12} \approx 250~\text{см}^3 , \qquad \text{откуда} \qquad y \approx 10~\text{см}.\] Наконец, допустимый уровень жидкости: \[x = H - y \approx 20~\text{см}.\]