Заполнение сосуда газовой смесью

Газ, входящий в сосуд, совершает над собой работу \(PV\) против внешнего давления. Сопоставьте эту работу с изменением внутренней энергии газа в сосуде. Состав смеси найдите по плотности, учитывая молярные массы аргона \(40\) г/моль и неона \(20\) г/моль.

1) Пусть газ, который в конце процесса оказывается в сосуде, первоначально занимает объём \(V\) при давлении \(P\). Тогда при вытеснении его в сосуд окружающий газ совершает работу \(A = PV = \dfrac{m}{\mu}RT_0\). Эта работа идёт на повышение внутренней энергии газа: \(\dfrac{m}{\mu}RT_0 = \dfrac{m}{\mu}c_V(T - T_0)\). Для одноатомного газа \(c_V = \dfrac{3}{2}R\), следовательно, \[T_0 = \frac{3}{2}(T - T_0), \qquad T = \frac{5}{3}T_0 = \frac{5}{3}\cdot 300 = 500~\text{К}.\]

2) Пусть в смеси \(\nu\) молей аргона и \(x\nu\) молей неона. Число молей газа в смеси равно \(\nu + x\nu = \nu(1 + x)\), масса смеси \(m = \mu_{\text{Ar}}\nu + \mu_{\text{Ne}}x\nu\).

3) Уравнение Менделеева–Клапейрона \(PV = \nu(1 + x)RT\). Объём смеси \(V = \dfrac{\nu(1 + x)RT}{P}\), плотность \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{(\mu_{\text{Ar}} + \mu_{\text{Ne}}x)\,P}{(1 + x)RT}.\]

4) Отсюда \(\dfrac{\mu_{\text{Ar}} + \mu_{\text{Ne}}x}{1 + x} = \dfrac{\rho RT}{P}\). Подставляя числа, \[\frac{(40 + 20x)\cdot 10^{-3}}{1 + x} = \frac{1{,}0\cdot 8{,}31\cdot 300}{10^5} = 24{,}93\cdot 10^{-3}.\] Тогда \(\dfrac{2 + x}{1 + x} = 1{,}25\), откуда \(x = 3\).

Итак, в смеси один моль аргона и три моля неона. Внутренняя энергия одного моля аргона \(\dfrac{3}{2}RT\), трёх молей неона \(\dfrac{9}{2}RT\), поэтому на долю атомов аргона приходится \(0{,}25\) всей внутренней энергии газа в сосуде.