Восстановление линзы

Если точка принадлежит изображению, то лучи, выходящие из источников, должны пересекаться в центре линзы. Посмотрите, какие отрезки проходят через одну и ту же точку, и при этом одна из точек должна оказаться серединой отрезка.

Предположим, что стержень с источниками — одна из сторон треугольника (например, \(AB\)), точки \(A_1\) и \(B_1\) — их изображения (рис. 24). Тогда лучи \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются на середине стороны \(BB_1\) в точке \(O\), которая является центром линзы. Луч, идущий от \(A\) через \(B\), преломляется в плоскости линзы и идёт далее через их изображение \(A_1\) и \(B_1\). Тогда середина \(AB\) — точка \(K\) — принадлежит плоскости линзы. Но в этом случае плоскость линзы \(OK\) пересекает стержень \(AB\), что невозможно. Следовательно, центр треугольника — один из концов стержня.

Рассмотрим этот вариант. Прямые \(AB\) и \(A_1B_1\) пересекаются на середине \(A_1B_1\) в точке \(K\), принадлежащей плоскости линзы (рис. 25). Итак, \(OK\) — плоскость линзы, точка \(O\) — её центр. Прямая \(PQ\), проходящая через точку \(O\) перпендикулярно \(OK\), — главная оптическая ось. Точки \(A_1\) и \(B_1\) — концы изображения. Само изображение «разорвано» и представляет два луча, лежащие на прямой \(A_1B_1\), уходящие из точек \(A_1\) и \(B_1\) на бесконечность.

Линза — собирающая, только такая линза может давать «разорванное» изображение.

Определить положение фокусов и фокусное расстояние несложно. Пустим луч \(AM\) из точки \(A\) параллельно оси линзы \(PQ\) до пересечения с плоскостью линзы в точке \(M\). После преломления луч пойдёт через изображение \(A_1\). Пересечение \(MA_1\) с \(PQ\) — точка \(F\) и есть главный фокус линзы. Так как \(OK\) — средняя линия треугольника, а точка \(O\) — середина \(AA_1\), \(OF = \dfrac{1}{4}h\), где \(h\) — высота треугольника, \(h = \dfrac{3}{2}AB = \dfrac{3}{2}l\). Таким образом, фокусное расстояние \[OF = \frac{3}{8}\,l .\]