Неисправная ракета

За период волны источник смещается на \(vT\), а фронт волны приближается к наблюдателю на \(cT\). Выразите расстояние между фронтами через угол \(\varphi\) и вспомните, что максимумы и минимумы частоты на графике соответствуют касательным из точки наблюдения к окружности.

Если источник звука движется, то частота звука, которую слышит неподвижный наблюдатель, может отличаться от испускаемой частоты. Этот эффект называется эффектом Доплера. Выведем формулу эффекта Доплера для неподвижного наблюдателя и движущегося источника.

За период волны \(T\) источник сместится на расстояние \(S = vT\), а фронт волны приблизится к наблюдателю на расстояние \(L = cT\) (рис. 27). Таким образом, расстояние между фронтами в направлении к наблюдателю составит \(l = L - S\cos\varphi = (c - v\cos\varphi)T\), а частота: \[f = \frac{c}{l} = \frac{c}{(c - v\cos\varphi)T} = \frac{f_0}{1 - (v/c)\cos\varphi} .\]

1. Если ракета летит прямо на датчик, то \(\varphi = 0\): \[f_{\max} = \frac{f_0}{1 - v/c},\] и частота звука повышается.

2. При произвольном угле \(\varphi\): \(f = \dfrac{f_0}{1 - (v/c)\cos\varphi}\). Частота \(f > f_0\), если проекция скорости ракеты на направление на датчик положительная (\(\cos\varphi > 0\)), и \(f < f_0\) в обратном случае. Если угол \(\varphi = \pi/2\), то \(f = f_0\).

3. Существуют два принципиальных положения датчика: внутри круга, описываемого ракетой, и снаружи него (Вообще говоря, датчик может находиться на траектории окружности, но в этом случае в момент пролёта ракеты над датчиком должен наблюдаться резкий скачок частоты, чего нет на графиках.). Рассмотрим ситуацию, когда датчик находится снаружи.

В этом случае точки, из которых от ракеты приходят максимальная и минимальная частоты, являются концами (M\(_1\) и M\(_2\) соответственно) отрезков касания из положения датчика \(A\) к траектории ракеты (рис. 28). А так как в силу симметрии \(AM_1 = AM_2\), то задержки между испусканием и приёмом звука для точек \(M_1\) и \(M_2\) одинаковы. Это означает, что точки \(M_1\) и \(M_2\) делят длину окружности в том же отношении, что и точки максимума и минимума на графике частоты делят период сигнала. Максимальная частота \(f^{\text{out}}_{\max} = f_{\max}\).

Если датчик находится внутри траектории (рис. 29), то угол \(\varphi\) между скоростью ракеты и направлением на датчик уже не сможет принимать значения \(0\) и \(\pi\), как в предыдущем случае. Чтобы найти его наибольшее и наименьшее значения, рассмотрим треугольник \(OBN_1\). В нём \(ON_1 = r\) — радиус траектории, \(OB = b\) — расстояние от центра траектории до датчика, \(\angle ON_1B = \theta = \pi/2 - \varphi\), \(\angle OBN_1 = \gamma\). Заметим, что угол \(\theta\) при любом положении точки \(N_1\) является острым, и по теореме синусов его синус равен: \[\sin\theta = \frac{b}{r}\sin\gamma .\] Так как \(b < r\), то \(\sin\theta\) принимает наибольшее значение, когда \(\sin\gamma = 1\), то есть \(\gamma = \pi/2\). А поскольку \(|\cos\varphi| = |\sin\theta|\), то \(\cos\varphi\) принимает наибольшее и наименьшее значения в точках \(N_1\) и \(N_2\) — концах хорды с центром в \(B\).

Опять-таки в силу симметрии и равенства \(BN_1 = BN_2\) точки \(N_1\) и \(N_2\) делят длину окружности в том же отношении, что и точки максимума и минимума на графике частоты делят период сигнала. При этом максимальная частота: \[f^{\text{in}}_{\max} = \frac{f_0}{1 - \dfrac{v}{c}\cos\varphi} = \frac{f_0}{1 - \dfrac{vb}{cr}} < f_{\max}.\]

Обратимся теперь к графику и заметим, что для обоих датчиков время от максимума до минимума частоты равны: \(t_1 = t_2 = T/4 = 6\) с, где \(T = 24\) с — период сигнала (период вращения ракеты). Таким образом, в обоих случаях \(2\alpha = 2\beta = \pi/2\). А так как при этом максимальная частота для датчика 1 больше максимальной частоты для датчика 2, то это возможно только, когда датчик 1 находится снаружи траектории, а датчик 2 — внутри.

Рассмотрим график 1: \[f^{\text{out}}_{\max} = \frac{f_0}{1 - v/c} = 1{,}32~\text{кГц}, \qquad f^{\text{out}}_{\min} = \frac{f_0}{1 + v/c} = 0{,}88~\text{кГц},\] откуда найдём частоту \(f_0 = 1{,}056\) кГц и скорость ракеты \(v = c/5 = 66\) м/с.

Зная период \(T = 24\) с и скорость ракеты \(v\), определим радиус её траектории: \[r = \frac{vT}{2\pi} = 252~\text{м}.\] Теперь можно найти расстояния от центра траектории до датчиков: \[a = \frac{r}{\cos\alpha} = \sqrt{2}\,r = 357~\text{м}, \qquad b = r\cos\beta = \frac{r}{\sqrt{2}} = 178~\text{м}.\] Осталось найти угол \(\psi\) между \(OA\) и \(OB\), который приводит к тому, что между максимумами графиков образуется фазовый сдвиг \(\tau = T/3 = 8\) с. Однако надо учитывать, что, так как \(a \ne b\), в этот сдвиг входит разница во времени распространения сигнала от ракеты до датчиков. Таким образом: \[\psi = \frac{\tau}{T} + \frac{AM_1}{c} - \frac{BN_1}{c} = \frac{2\pi}{3} + \frac{2-\sqrt{2}}{10} = 2{,}15~\text{рад}.\] Отметим, что вклад от разницы задержек сигналов составляет около \(3\,\%\), что является погрешностью того же порядка, что и погрешность определения времён по графику.

Окончательно найдём расстояние между датчиками по теореме косинусов: \[L = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\psi} = 478~\text{м}.\]