В архиве Снеллиуса

Рассмотрите отдельно рассеивающую и собирающую линзы. Мнимое изображение рассеивающей линзы всегда лежит между линзой и источником, а мнимое изображение собирающей — дальше от линзы, чем источник. Затем проверьте все промежутки на оси.

Качественный анализ. Рассеивающая линза. Изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое и лежит по ту же сторону от линзы, что и источник, причём расстояние от линзы до изображения меньше расстояния от линзы до источника. Поэтому подходит рассеивающая линза, находящаяся правее \(S_1\) (рис. 26).

Собирающая линза. Изображение может быть как мнимым, так и действительным. Мнимое (причём увеличенное) изображение расположено от линзы всегда дальше, чем источник, поэтому линза, дающая мнимое изображение, расположена слева от \(S_0\) (рис. 27).

Если линза расположена между источником \(S_0\) и изображением \(S_1\), то изображение действительное. Так как линза имеет два фокуса, точка \(F\) может лежать как справа (рис. 28), так и слева от линзы (рис. 29). Таким образом, существуют четыре решения.

Точные координаты оптических центров. Пусть расстояние от источника до фокуса равно \(d\), до изображения — \(L\), до линзы — \(x\). Формула тонкой линзы: \[\frac{1}{|x|} \pm \frac{1}{|L - x|} = \pm\frac{1}{|d - x|}, \qquad (22)\] где знак плюс в левой части соответствует действительному изображению, а минус — мнимому; знак плюс перед оптической силой — собирающей линзе, минус — рассеивающей. Раскрывая модули на четырёх промежутках, определяемых точками \(S_0\), \(F\), \(S_1\), находим все решения. На промежутке \(S_0F\) может быть только собирающая линза: \[\frac1x + \frac{1}{L - x} = \frac{1}{d - x} \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2Lx + Ld = 0 \quad\Longrightarrow\quad L - x = \mp\sqrt{L(L - d)},\] причём решение со знаком минус попадает в рассматриваемый промежуток. На оставшихся трёх промежутках аналогично находим ещё две собирающие линзы в точках \(x = \pm\sqrt{Ld}\) (отсчёт от \(S_0\)), а в точке \(L - x = \sqrt{L(L - d)}\) находится рассеивающая линза.

Все построения сводятся к построению корней из произведений длин отрезков: высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэтому строим \(\sqrt{S_0S_1\cdot FS_1}\) и \(\sqrt{S_0S_1\cdot S_0F}\) и откладываем полученные отрезки от точки \(S_0\) вправо и от точки \(S_1\) в обе стороны.

Пошаговая инструкция (рис. 30):

1. Отложим на оптической оси отрезок \(S_0S_1 = L\) вправо от точки \(S_1\). Обозначим точку \(M_1\).

2. Найдём среднее геометрическое длин \(FS_1 = L - d\) и \(L\): построим окружность на диаметре \(FM_1\) и найдём точку \(P_1\) пересечения перпендикуляра к оптической оси, проходящего через \(S_1\), с окружностью. Длина отрезка \(S_1P_1\) равна \(\sqrt{L(L - d)}\).

3. Отложим отрезки длины \(S_1P_1\) влево (\(O_1\)) и вправо (\(O_2\)) от \(S_1\) на оптической оси. Левая линза окажется собирающей, правая — рассеивающей.

4. Отложим на оптической оси отрезок \(S_0S_1 = L\) влево от точки \(S_0\). Обозначим точку \(M_0\).

5. По аналогии с пунктом 2 построим окружность на диаметре \(M_0F\) и перпендикуляр \(S_0P_0\), длина которого равна \(\sqrt{Ld}\).

6. Отложим отрезки длиной \(S_0P_0\) вправо (\(O_3\)) и влево (\(O_4\)) от точки \(S_0\) на оптической оси. Эти линзы собирающие.