Восьмёрка лорда Кельвина

Для процесса с постоянной теплоёмкостью \(C\) тепло \(Q = C\,\Delta T\), поэтому в координатах \((C,T)\) тепло цикла — площадь под графиком. Политропа \(pV^n = \text{const}\) связывает температуру и объём.

Качественно изобразим процесс в координатах \((p,V)\) (рис. 23). График состоит из четырёх политроп: процессу \(ab\) соответствует процесс \(12\), \(ef\) — \(23\), \(cb\) — \(34\), \(ed\) — \(41\). Точки \(2\) и \(4\) лежат на одной изотерме: \(T_2 = T_4 = T_b\).

1. Поскольку теплота, переданная газу в процессе с постоянной теплоёмкостью, равна \(Q = C\Delta T\), в координатах \((C,T)\) теплота процесса численно равна площади под графиком. На участках \(12\) и \(23\) тепло подводится, на участках \(34\) и \(41\) — отводится: \[Q_+ = Q_{12} + Q_{23} = C_a(T_2 - T_1) + C_d(T_3 - T_2) = 271{,}5~\text{Дж},\] \[Q_- = Q_{34} + Q_{41} = -C_a(T_3 - T_2) - C_d(T_2 - T_1) = -243~\text{Дж}.\] По первому началу термодинамики полная теплота цикла равна работе газа за цикл: \(A = Q_+ + Q_- = 28{,}5\) Дж, откуда \(\eta = \dfrac{A}{Q_+} = 0{,}105\).

2. Из уравнения политропы и уравнения состояния \(pV/T = \text{const}\) следует \(T V^{n-1} = \text{const}\). Записав это для четырёх процессов и перемножив равенства, получаем \(T_1T_3 = T_2T_4 = T_2^2\). С учётом \(T_2 = T_1 + T_0\) и \(T_3 = T_1 + 3T_0\), где \(T_0 = 100\) К, находим \(T_1 = T_0\). Таким образом, \(T_1 = 100\) К, \(T_2 = 200\) К, \(T_3 = 400\) К, то есть \(T_a = 100\) К, \(T_b = 200\) К, \(T_c = 400\) К.

3. Для политропы с теплоёмкостью \(C\): \(C = C_V + \dfrac{p\,\Delta V}{\Delta T}\), \(\Delta V = \dfrac{\Delta T}{1-n}\cdot\dfrac{V}{T}\), откуда \[n = \frac{C - C_p}{C - C_V}.\] Логарифмируя уравнение политропы, видим, что в координатах \(x = \ln(V/V_0)\), \(y = \ln(p/p_0)\) график политропы — прямая с наклоном \(-n\). Тогда цикл в этих координатах — параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, то есть цикл в \((p,V)\) — ромб. Условие перпендикулярности диагоналей даёт \(n_a n_d = 1\), откуда \(C_a + C_d = C_p + C_V = \nu(c_p + c_V)\), и \[\nu = \frac{C_a + C_d}{c_p + c_V} = 34{,}4~\text{ммоль}.\] Заметим, что \(C_a = \nu c_V\), а \(C_d = \nu c_p\); следовательно, цикл состоит из двух изобар и двух изохор (рис. 25).