Цикл с линейными участками

Давление, объём и температуру газа в точках \(1\), \(2\) и \(3\) графика (см. рисунок) обозначим через \(p\), \(V\) и \(T\), добавляя соответствующие индексы.

1. Для участка \(2\)–\(3\) имеем \(\dfrac{p_3}{V_3} = \dfrac{p_2}{V_2}\). Так как \(V_3 = 3V_0\), \(p_2 = p_0\), \(V_2 = 7V_0\), то \(p_3 = \dfrac{3p_0}{7}\). Из уравнения состояния газа находим \[T_3 = \dfrac{p_3V_3}{\nu R} = \dfrac{9}{7}\dfrac{p_0V_0}{\nu R}.\] 2. Работа газа за цикл равна \(A = \dfrac{1}{2}(p_1 - p_3)(V_2 - V_3) = \dfrac{64p_0V_0}{7}\).

3. На участке \(3\)–\(1\) газ получает тепло \(Q_{31} = \nu\cdot\dfrac{3}{2}R(T_1 - T_3) = \dfrac{144}{7}p_0V_0\).

Покажем, что на участке \(1\)–\(2\) есть точка \(K\) с критическим объёмом \(V_{\text{к}}\) таким, что газ при \(V < V_{\text{к}}\) получает тепло, а при \(V > V_{\text{к}}\) отдаёт тепло. Для этого в процессе \(1\)–\(2\) выразим зависимость приращения теплоты \(\Delta Q\), подводимой к газу от нагревателя, от увеличения объёма на малую величину \(\Delta V\). Уравнение процесса \(1\)–\(2\) есть \[p = -\dfrac{p_0}{V_0}V + 8p_0.\] Подставив найденное давление \(p\) в уравнение состояния идеального газа \(pV = \nu RT\), получим \(8p_0V - \dfrac{p_0}{V_0}V^2 = \nu RT\). Отсюда в приращениях \[\nu R\Delta T = \left(8p_0 - 2\dfrac{p_0}{V_0}V\right)\Delta V.\] С учётом полученных соотношений уравнение первого закона термодинамики \(\Delta Q = \dfrac{3}{2}\nu R\Delta T + p\Delta V\) можно преобразовать к виду: \[\Delta Q = \left(20p_0 - 4\dfrac{p_0}{V_0}V\right)\Delta V.\] Из последнего уравнения видно, что на участке \(1\)–\(2\) изменение \(\Delta Q > 0\) при \(V < 5V_0\) и \(\Delta Q < 0\) при \(V > 5V_0\). Следовательно, \(V_{\text{к}} = 5V_0\), \(p_{\text{к}} = 3p_0\). Отсюда \[T_{\text{к}} = \dfrac{15p_0V_0}{\nu R}.\] Итак, за цикл газ получает тепло на участках \(3\)–\(1\) и \(1\)–\(K\), причём \[Q_{1\text{к}} = \nu\cdot\dfrac{3}{2}R(T_{\text{к}} - T_1) + \dfrac{p_1 + p_K}{2}(V_{\text{к}} - V_1) = 8p_0V_0.\] Коэффициент полезного действия тепловой машины \[\eta = \dfrac{A}{Q_{31} + Q_{1K}} = 0{,}32.\]